Question

6．求下列函數(shù)的值域：
（1）y=2x+1，x∈{1，2，3，4，5}；
（2）y=-x²-2x+3（-5≤x≤-2）；
（3）y=$\sqrt{x}$+x+1，x∈[1，4]；
（4）y=$\frac{1-{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$．

Answer 1

分析 （1）求x分別取1，2，3，4，5時對應(yīng)的y值，然后用列舉法表示即為原函數(shù)的值域；
（2）配方，判斷該二次函數(shù)在[-5，-2]上的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性求該函數(shù)的值域；
（3）根據(jù)x的范圍，求出$\sqrt{x}$的范圍，從而得出$\sqrt{x}+x+1$的范圍，即得出原函數(shù)的值域；
（4）可將原函數(shù)變成$y=-1+\frac{2}{1+{x}^{2}}$，然后根據(jù)1+x²≥1即可得出$\frac{1}{1{+x}^{2}}$的范圍，從而得出y的范圍，即求出原函數(shù)的值域．

解答 解：（1）x分別取1，2，3，4，5時，對應(yīng)的y值為：3，5，7，9，11；
∴該函數(shù)的值域為{3，5，7，9，11}；
（2）y=-x²-2x+3=-（x+1）²+4；
∴該函數(shù)在[-5，-2]上單調(diào)遞增，設(shè)y=f（x），則：
f（-5）≤f（x）≤f（-2）；
∴-12≤f（x）≤3；
∴原函數(shù)的值域為[-12，3]；
（3）1≤x≤4；
∴$1≤\sqrt{x}≤2$；
∴$3≤\sqrt{x}+x+1≤7$；
∴該函數(shù)的值域為[3，7]；
（4）$y=\frac{1-{x}^{2}}{1+{x}^{2}}=\frac{-（1+{x}^{2}）+2}{1+{x}^{2}}$=$-1+\frac{2}{1+{x}^{2}}$；
1+x²≥1；
∴$0＜\frac{1}{1+{x}^{2}}≤1$；
∴-1＜y≤1；
∴原函數(shù)的值域為（-1，1]．

點評 考查函數(shù)值域的概念及求法，定義域為孤立點時函數(shù)值域的求法，根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性求其值域，分離常數(shù)法的運用，以及根據(jù)不等式的性質(zhì)求函數(shù)值域的方法．