Question

數列{a_n}中，a₁=1，a₂=2，數列{a_na_n+1}是公比為q（q＞0）的等比數列．
（Ⅰ）求使a_na_n+1+a_n+1a_n+2＞a_n+2a_n+3成立的q的取值范圍；
（Ⅱ）求數列{a_n}的前2n項的和S_2n．

Answer 1

考點：數列的求和,等比數列的性質

專題：等差數列與等比數列

分析：（Ⅰ）由a_na_n+1+a_n+1a_n+2＞a_n+2a_n+3得anan+1+anan+1q ＞anan+1q ⇒1+q ＞q2，解不等式求出q的范圍
（Ⅱ）由數列{a_n•a_n+1}是公比為q的等比數列，得

an+1an+2

anan+1

=q⇒

an+2

an

=q，得到數列{a_n}的所有奇數項成等比數列，所有偶數項成等比數列，利用分組求出數列{a_n}的前2n項的和S_2n．

解答： 解：（Ⅰ）∵數列{a_n•a_n+1}是公比為q的等比數列，
由a_na_n+1+a_n+1a_n+2＞a_n+2a_n+3得
anan+1+anan+1q ＞anan+1q ⇒1+q ＞q2，
即q²-q-1＜0（q＞0）
解得0＜q＜

1+ 5

2

．…4分
（Ⅱ）由數列{a_n•a_n+1}是公比為q的等比數列，
得

an+1an+2

anan+1

=q⇒

an+2

an

=q，
這表明數列{a_n}的所有奇數項成等比數列，
所有偶數項成等比數列，且公比都是q，…8分
又a₁=1，a₂=2，
∴當q≠1時，S_2n=a₁+a₂+a₃+a₄+…+a_2n-1+a_2n
=（a₁+a₃+…+a_2n-1）+（a₂+a₄+a₆+…+a_2n）
=

a1(1-qn)

1-q

+

a2(1-qn)

1-q

=

3(1-qn)

1-q

…10分
當q=1時，

S2n=a1+a2+a3+a4+…+a2n-1+a2n

=

(a1+a3+…+a2n-1)+(a2+a4+a6+…+a2n)

=（1+1+1+…+1）+（2+2+2+…+2）=3n…12分．

點評：本題考查等比數列及其求和公式，分組求和，體現了分類討論思想，屬于一道中等題．