Question

已知數(shù)列{a_n}中，a1=

2

3

，a2=

8

9

，且當(dāng)n≥2，n∈N時(shí)，3a_n+1=4a_n-a_n-1．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）記

n

i=1

ai=a₁•a₂•a₃…a_n，n∈N，
（1）求極限

lim

n→∞

n

i=1

ai；
（2）求證：2

n

i=1

ai＞1．

Answer 1

分析：（1）將已知的遞推關(guān)系變形，利用等比數(shù)列的定義，證得數(shù)列{a_n+1-a_n}成等比數(shù)列．利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出a_n+1-a_n=

2

9

（

1

3

）^n-1，利用累加可求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（Ⅱ）利用記

n

i=1

ai=a₁•a₂•a₃…a_n，n∈N，直接求和，（1）然后利用和值求出數(shù)列的極限即可．
（2）利用數(shù)學(xué)歸納法證明，當(dāng)n=1時(shí)，顯然成立；假設(shè)n=k時(shí)，結(jié)論成立，再證明n=k+1 時(shí)，結(jié)論成立即可．

解答：解：（Ⅰ）由題意，當(dāng)n≥2，3a_n+1=4a_n-a_n-1⇒3a_n+1-3a_n=a_n-a_n-1
所以 an+1-an=

1

3

(an-an-1)，
所以 {an+1-an}是以a2-a1=

2

9

為首項(xiàng)，

1

3

為公比的等比數(shù)列．
得 an+1-an=

2

9

(

1

3

)n-1，an-an-1=

2

9

(

1

3

)n-2…a2-a1=

2

9

(

1

3

)0
累加得 an-a1=1-(

1

3

)n，得 an=1-(

1

3

)n
（Ⅱ）（1）因?yàn)?span id="djdsxmf" class="MathJye">an=1-(

1

3

)n，所以

n

i=1

ai=a₁•a₂•a₃…a_n=(1-

1

3

)(1-

1

9

)(1-

1

27

)…  [1-(

1

3

)n  ]=

2

3

•

8

9

•

26

27

…

(3n-1)

3n

當(dāng)n→+∞時(shí)，an=1-(

1

3

)n→1，∴極限

lim

n→∞

n

i=1

ai=1；
 （2）當(dāng)n=1時(shí)，顯然成立
假設(shè)n=k時(shí)，結(jié)論成立，即2a₁•a₂•a₃…a_k＞1．
則n=k+1 時(shí)，左邊＞ak+1=1-(

1

3

)k+1＞1
故結(jié)論成立．

點(diǎn)評(píng)：本題考查證明數(shù)列是等比數(shù)列常用數(shù)列的方法：是定義法與等比中項(xiàng)的方法；注意構(gòu)造新數(shù)列是求數(shù)列的通項(xiàng)的常用的方法．