已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠BAD=
π
2
，AB=BC=2AD=4，E、F分別是AB、CD上的點(diǎn)，EF∥BC，AE=x，G是BC的中點(diǎn)．沿EF將梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF（如圖）．
（1）當(dāng)x=2時(shí)，求證：BD⊥EG；
（2）若以F、B、C、D為頂點(diǎn)的三棱錐的體積記為f（x），求f（x）的最大值；
（3）當(dāng)f（x）取得最大值時(shí)，求二面角D-BF-C的余弦值．
證明：（1）∵平面AEFD⊥平面EBCF，∵EF∥AD，∠AEF=
π
2
，
∴AE⊥EF，∴AE⊥平面EBCF，AE⊥EF，AE⊥BE，
又BE⊥EF，故可如圖建立空間坐標(biāo)系E-xyz．
∵EA=2，∴EB=2，
又∵G為BC的中點(diǎn)，BC=4，∴BG=2．
則A（0，0，2），B（2，0，0），G（2，2，0），D（0，2，2），E（0，0，0），
∴
BD
=（-2，2，2），
EG
=（2，2，0），
BD
•
EG
=（-2，2，2）•（2，2，0）=0，
∴BD⊥EG．
（2）∵AD∥面BFC，
所以f（x）=VD-BCF=VA-BFC=
1
3
×S△BCF×AE=
1
3
×
1
2
×4(4-x)x=-
2
3
(x-2)2+
8
3
≤
8
3
，
即x=2時(shí)f（x）有最大值為
8
3
．（8分）
（3）設(shè)平面DBF的法向量為
n1
=(x，y，z)，
∵AE=2，B（2，0，0），D（0，2，2），
F（0，3，0），∴
BF
=(-2，3，0)，
BD
=（-2，2，2），
則
n1
•
BD
=0
n1
•
BF
=0
，
即
(x，y，z)•(-2，2，2)=0
(x，y，z)•(-2，3，0)=0
，
-2x+2y+2z=0
-2x+3y=0

取x=3，y=2，z=1，
∴
n1
=(3，2，1)
∵AE⊥面BCF，
∴面BCF一個(gè)法向量為
n2
=(0，0，1)，
則cos＜
n1
，
n2
＞=
n1
•
n2
|n1
||
n2|
=
14
14
，（14分）
由于所求二面角D-BF-C的平面角為鈍角，所以此二面角的余弦值為-
14
14
．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

在如圖所示的幾何體中，正方形ABCD和矩形ABEF所在的平面互相垂直，M為AF的中點(diǎn)，BN⊥CE.

(1)求證：CF∥平面MBD；
(2)求證：CF⊥平面BDN.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，P是AC與BD的交點(diǎn)，M是CC1的中點(diǎn)．
（1）求證：A1P⊥平面MBD；
（2）求直線B1M與平面MBD所成角的正弦值；
（3）求平面ABM與平面MBD所成銳角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，PA⊥面ABCD，點(diǎn)M、N分別為BC、PA的中點(diǎn)，且PA=AB=2．
（1）證明：BC⊥AMN；
（2）在線段PD上是否存在一點(diǎn)E，使得MN∥面ACE？若存在，求出PE的長(zhǎng)，若不存在，說(shuō)明理由．
（3）求二面角A-PD-C的正切值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：填空題

在二面角α-l-β中，A∈l，B∈l，AC?α，BD?β，且AC⊥l，BD⊥l，已知AB=1，AC=BD=2，CD=
5
，則二面角α-l-β的余弦值為_(kāi)_____．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)O是BD中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：平面BDD1B1⊥平面C1OC；
（Ⅱ）求二面角C1-BD-C的正切值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD為菱形，∠ABC=60°，AB=2，△PCB為正三角形，且平面PCB⊥平面ABCD，M，N分別為BC，PD的中點(diǎn)．
（1）求證：MN∥面APB；
（2）求二面角B-NC-P的余弦值；
（3）求四棱錐P-ABCD被截面MNC分成的上下兩部分體積之比．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖，四棱柱ABCD-A′B′C′D′中，側(cè)棱與底面垂直，AB∥CD，AD⊥DC，且AB=AD=1，BC=
2
，AA′=
6
2
．
（I）求證：DB⊥BC′；
（II）求二面角A′-BD-C的大小．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=2BC=2BB1，沿平面C1BD把這個(gè)長(zhǎng)方體截成兩個(gè)幾何體：
（Ⅰ）設(shè)幾何體（1）、幾何體（2）的體積分為是V1、V2，求V1與V2的比值；
（Ⅱ）在幾何體（2）中，求二面角P-QR-C的正切值．

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