如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD為菱形，∠ABC=60°，AB=2，△PCB為正三角形，且平面PCB⊥平面ABCD，M，N分別為BC，PD的中點．
（1）求證：MN
∥面APB；
（2）求二面角B-NC-P的余弦值；
（3）求四棱錐P-ABCD被截面MNC分成的上下兩部分體積之比．
（1）證明：取AD中點O，連接MO，NO，
∵M，N分別為DE，PB的中點，
∴ON
∥PA，ON
∥面PAB
又∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴OM
∥AB，∵OM在平面PAB外，AB?平面PAB，
∴OM
∥面PAB，
∵面MON
∥面PAB，∴MN
∥面PAB．（3分）
（2）建立空間直角坐標系如圖，
由題意知：P（0，0，
），A（
，0，0），B（0，-1，0），
C（0，1，0），
D(，2，0)，
∵N為PD中點，∴
N(，1，)，（4分）
∴
=（
，1，-），
=(0，1，-)，
=(，2，)，
=（0，2，0），
令平面PNC的法向量
=(x，y，z)，
∵
•=0，•=0，
∴
，∴
=(-1，，1)．
設平面BNC的法向量
=(，y1，z1)，
∵
•=0，•=0，
∴
，∴
=(1，0，-1)，（6分）
∴cos＜
，＞=
=-
，
∵二面角B-NC-P的平面角為銳角，
∴二面角B-NC-P的余弦值為
．（8分）
（3）∵
=（0，0，
），平面MNC的法向量為
=(1，0，-1)，
∴點P到平面MNC的距離d=|
|=|
|=
，
設PA中點為E，則NE=1，BC=2，
=(0，2，0)，=(，0，)，
∴
•=0，|
|=
練習冊系列答案
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科目：高中數(shù)學
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題型：解答題
如圖，已知ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，M，N分別是AB，PC的中點，PA=2，PD=AB，且平面MND⊥平面PCD．
（1）求證：MN⊥AB；
（2）求二面角P-CD-A的大�。�
（3）求三棱錐D-AMN的體積．
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如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，點E是AB的中點，點F是BC的中點，將△AED，△CDF分別沿DE，DF折起，使A，C兩點重合于A′．
（1）求證：A′D⊥EF；
（2）求二面角A′-EF-D的正切值．
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如圖，P是二面角α-AB-β棱AB上的一點，分別在α，β上引射線PM，PN，如果∠BPM=∠BPN=45°，∠MPN=60°，那么二面角α-AB-β的大小是 ______．
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來源：不詳
題型：解答題
已知梯形ABCD中，AD
∥BC，∠ABC=∠BAD=
，AB=BC=2AD=4，E、F分別是AB、CD上的點，EF
∥BC，AE=x，G是BC的中點．沿EF將梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF（如圖）．
（1）當x=2時，求證：BD⊥EG；
（2）若以F、B、C、D為頂點的三棱錐的體積記為f（x），求f（x）的最大值；
（3）當f（x）取得最大值時，求二面角D-BF-C的余弦值．
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科目：高中數(shù)學
來源：不詳
題型：解答題
已知在三棱錐S-ABC中，底面是邊長為4的正三角形，側(cè)面SAC⊥底面ABC，M，N分別是AB，SB的中點，SA=SC=
2：
（1）求證AC⊥SB
（2）求二面角N-CM-B的大小
（3）求點B到面CMN的距離．
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科目：高中數(shù)學
來源：不詳
題型：解答題
一個四棱錐P一ABCD的正視圖是邊長為2的正方形及其一條對角線，側(cè)視圖和俯視圖全全等的等腰直角三角形，直角邊長為2，直觀圖如圖．
（1）求四棱錐P一ABCD的體積：
（2）求二面角C-PB-A大小；
（3）M為棱PB上的點，當PM長為何值時，CM⊥PA？
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科目：高中數(shù)學
來源：不詳
題型：解答題
已知矩形ABCD中，AB=2，AD=5，E，F(xiàn)分別在AD，BC上且AE=1，BF=3，將四邊形AEFB沿EF折起，使點B在平面CDEF上的射影H在直線DE上．
（1）求證：AD
∥平面BFC；
（2）求二面角A-DE-F的平面角的大小．
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科目：高中數(shù)學
來源：不詳
題型：單選題
如圖，已知六棱錐P－ABCDEF的底面是正六邊形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，則下列結(jié)論正確的是( )
| A．PB⊥AD |
| B．平面PAB⊥平面PBC |
| C．直線BC∥平面PAE |
| D．直線PD與平面ABC所成的角為45° |
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