Question

      對(duì)于函數(shù)，若，則稱為的“不動(dòng)點(diǎn)”；若，則稱為的“穩(wěn)定點(diǎn)”.函數(shù)的“不動(dòng)點(diǎn)”和“穩(wěn)定點(diǎn)”的集合分別記為和,即,

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（Ⅰ）設(shè)函數(shù)，求集合和；

（Ⅱ）求證：；

（Ⅲ）設(shè)函數(shù)，且，求證：.

Answer 1

（Ⅰ）解：由，得，解得；                            …………1分

        由，得，解得.                   …………3分

       所以集合，.                                       …………4分

（Ⅱ）證明：若，則顯然成立；

     若,設(shè)為中任意一個(gè)元素，則有，

     所以，故，所以.                      …………8分

（Ⅲ）證明：由，得方程無(wú)實(shí)數(shù)解，

      則.                                         …………10分

①     當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)（即）的圖象在軸的上方，

所以任意，恒成立，

即對(duì)于任意，恒成立，

對(duì)于實(shí)數(shù)，則有成立，

所以對(duì)于任意，恒成立，則.        …………12分

②當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)（即）的圖象在軸的下方，

所以任意，恒成立，

即對(duì)于任意，恒成立，

對(duì)于實(shí)數(shù)，則有成立，

所以對(duì)于任意，恒成立，則.

綜上，對(duì)于函數(shù)，當(dāng)時(shí)，.   …………14分