Question

（本小題10分）如圖，已知拋物線：，過焦點斜率大于零的直線交拋物線于、兩點，且與其準線交于點．

（Ⅰ）若線段的長為，求直線的方程；

（Ⅱ）在上是否存在點，使得對任意直線，直線，，的斜率始終成等差數(shù)列，若存在求點的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

（1） ． （2）均用表示

【解析】

試題分析: 第一步是拋物線焦點弦長公式和焦半徑公式的應(yīng)用，首先設(shè)出直線方程，和拋物線方程聯(lián)立求

出，使用公式，列方程求出；第二步首先假設(shè)存在于是巧設(shè)點（運算簡單），

表達出三個斜率使其成等差數(shù)列，注意在整理時要有減元意識，把均用表示，最后借助

，，轉(zhuǎn)化為只含有的關(guān)系，利用恒成立求出，達到解題的目的.

試題解析：（Ⅰ）焦點，∵直線的斜率不為，所以設(shè)，設(shè)，，

聯(lián)立方程組，得：，則，

而，，

所以 ∴直線的斜率，，.

∴直線的方程為

（Ⅱ）設(shè)在上是否存在點，首先求出，

，，同理，由于直線，，的斜率始終成等差數(shù)列，則恒成立，，

，，把代入后得：恒成立，則 .

存在點或使得對任意直線，直線，，的斜率始終成等差數(shù)列.

考點：1. 拋物線焦點弦長公式和焦半徑公式;2.巧設(shè)點；3.恒成立問題；4.存在性問題；