設(shè)x＞0，y＞0，z＞0，且x2+y2+z2=1．
（Ⅰ）求證：xy+yz+xz≤1；   
（Ⅱ）求（
yz
x
+
xz
y
+
xy
z
）2的最小值．
分析：（Ⅰ）利用重要不等式x2+y2≥2xy，通過同向不等式可加性，直接求證：xy+yz+xz≤1；   
（Ⅱ）利用
y2z2
x2
+
x2z2
y2
≥2z2；
y2z2
x2
+
x2y2
z2
≥2y2；
x2z2
y2
+
x2y2
z2
≥2x2，推出（
yz
x
+
xz
y
+
xy
z
）2的不等關(guān)系，利用已知條件即可求出表達(dá)式的最小值．
解答：解：（Ⅰ）證明：因為x2+y2≥2xy；  
 y2+z2≥2yz；   
 x2+z2≥2xz；
所以x2+y2+z2≥xy+yz+xz；
故xy+yz+xz≤1，
當(dāng)且僅當(dāng)x=y=z時取等號；---------------------（6分）
（Ⅱ）因為
y2z2
x2
+
x2z2
y2
≥2z2；
y2z2
x2
+
x2y2
z2
≥2y2；
x2z2
y2
+
x2y2
z2
≥2x2
所以
y2z2
x2
+
x2z2
y2
+
x2y2
z2
≥x2+y2+z2=1；
而（
yz
x
+
xz
y
+
xy
z
）2=
y2z2
x2
+
x2z2
y2
+
x2y2
z2
+2（x2+y2+z2）≥3
所以（
yz
x
+
xz
y
+
xy
z
）2≥3，當(dāng)且僅當(dāng)x=y=z時取等號；
故當(dāng)x=y=z=
3
3
時，（
yz
x
+
xz
y
+
xy
z
）2的最小值為3．------------（14分）
點評：本題考查不等式的證明方法綜合法的應(yīng)用，重要不等式的應(yīng)用，考查分析問題與解決問題的能力．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)x＞0，y＞0，z＞0，求證：
x2+xy+y2
+
y2+yz+z2
＞x+y+z．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)x＞0，y＞0，z＞0．
（Ⅰ）利用作差法比較
x2
x+y
與
3x-y
4
的大��；
（Ⅱ）求證：x2+y2+z2≥xy+yz+zx；
（Ⅲ）利用（Ⅰ）（Ⅱ）的結(jié)論，證明：
x3
x+y
+
y3
y+z
+
z3
z+x
≥
xy+yz+zx
2
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)x＞0，y＞0，z＞0，
（Ⅰ）比較
x2
x+y
與
3x-y
4
的大�。�
（Ⅱ）利用（Ⅰ）的結(jié)論，證明：
x3
x+y
+
y3
y+z
+
z3
z+x
≥
xy+yz+zx
2
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010-2011學(xué)年浙江省杭州二中高二（下）期中數(shù)學(xué)試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

設(shè)x＞0，y＞0，z＞0，
（Ⅰ）比較與的大小；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）的結(jié)論，證明：．

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