Question

6．若函數(shù)f（x）在R上恒有f（x）=f（x+1）+f（x-1），且f（2）=2，求f（2015）的值．

Answer 1

分析 根據(jù)條件推導(dǎo)函數(shù)的周期性是，利用函數(shù)的周期性進(jìn)行轉(zhuǎn)化即可得到結(jié)論．

解答 解：∵f（x）=f（x+1）+f（x-1），
∴f（x+1）=f（x+2）+f（x），
即兩邊相加f（x）=f（x-1）+f（x+2）+f（x），
即f（x+2）+f（x-1）=0，
即f（x+2）=-f（x-1），
即f（x+3）=-f（x），
即f（x+6）=-f（x+3）=f（x），
在函數(shù)的周期是6，
則f（2015）=f（336×6-1）=f（-1）=-f（-1+3）=-f（2）=-2

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)值的計(jì)算，根據(jù)條件推出函數(shù)的周期性是解決本題的關(guān)鍵．