Question

如圖，已知△ABC的兩條角平分線AD和CE相交于H，B，E，H，D四點(diǎn)共圓，F(xiàn)在AC上，且∠DEC=∠FEC．
（I）求∠B的度數(shù)；
（Ⅱ）證明：AE=AF．

Answer 1

考點(diǎn)：平行線分線段成比例定理

專題：立體幾何

分析：（I）由B，E，H，D四點(diǎn)共圓，可得∠CHD=∠B．再利用三角形的外角定理和三角形的內(nèi)角和定理即可得出．
（II）利用四點(diǎn)共圓的性質(zhì)、三角形的外角定理、三角形的內(nèi)角和定理即可得出．

解答： （I）解：∵B，E，H，D四點(diǎn)共圓，∴∠CHD=∠B．
又∠CHD=∠HCA+∠HAC=

1

2

∠ACB+

1

2

∠CAB，
∴∠B=

1

2

∠ACB+

1

2

∠CAB，
∵∠B+∠ACB+∠CAB=180°，
∴3∠B=180°，
解得∠B=60°．
（II）證明：連接BH，
∵B，E，H，D四點(diǎn)共圓，
∴∠CHD=∠B，∠AEH=∠ADB．
∠DEH=∠BDH=

1

2

∠ABC=30°．
∵∠DEC=∠FEC，∴∠FEC=30°．
∴∠AFE=∠FCE+∠FEC=

1

2

∠ACB+30°．
∠AEF=∠ADB-30°
=∠ACB+∠DAC-30°
=∠ACB+

1

2

(180°-60°-∠ACB)-30°
=

1

2

∠ACB+30°．
∴∠AFE=∠AEF，
∴AE=AF．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了四點(diǎn)共圓的性質(zhì)、三角形的外角定理、三角形的內(nèi)角和定理，考查了推理能力，屬于中檔題．