【題目】設(shè)O為坐標(biāo)原點,動點M在橢圓C 上,過M作x軸的垂線,垂足為N點P滿足

(1) 求點P的軌跡方程;

(2)設(shè)點 在直線x=-3上,且.證明過點P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點F.

答案(1)

2由題意知F(-1,0),設(shè)Q(-3,t),P(m,n),則

.

得-3m-+tn-=1,又由(1)知,故

3+3m-tn=0.

所以,即.又過點P存在唯一直線垂直于OQ,所以過點P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點F.

【解析】

(1)設(shè)P(x,y),M(),則N(),

.

因為M()在C上,所以.

因此點P的軌跡為.

2由題意知F(-1,0),設(shè)Q(-3,t),P(m,n),則

.

得-3m-+tn-=1,又由(1)知,故

3+3m-tn=0.

所以,即.又過點P存在唯一直線垂直于OQ,所以過點P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點F.

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(2)將l放在容器中,l的一端置于點E處,另一端置于側(cè)棱GG1上,求l沒入水中部分的長度.

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