Question

【題目】已知數列an的首項a1=2，且an=2an﹣1﹣1（nN+ ， n≥2）．
（1）求數列{an}的通項公式；
（2）求數列{nan﹣n}的前n項和Sn ．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵an=2an﹣1﹣1，

∴an﹣1=2（an﹣1﹣1），

即{an﹣1}是以a1﹣1=2﹣1=1，為首項，公比q=2的等比數列，

∴an﹣1=2n﹣1，即an=1+2n﹣1

（2）解：∵an=1+2n﹣1．，

∴nan﹣n=n（1+2n﹣1）﹣n=n2n﹣1，

數列{nan﹣n}的前n項和Sn=120+221+322+…+n2n﹣1，①

2Sn=121+222+323+…+（n﹣1）2n﹣1+n2n，②，

①﹣②得，﹣Sn=120+21+22+…+2n﹣1﹣n2n= ﹣n2n=2n﹣n2n﹣1=（1﹣n）2n﹣1，

即Sn=（n﹣1）2n+1

【解析】（1）根據條件構造一個等比數列，即可求數列{an}的通項公式；（2）求出數列{nan﹣n}的通項公式，利用錯位相減法即可求出前n項和Sn ．
【考點精析】認真審題，首先需要了解數列的前n項和(數列{an}的前n項和sn與通項an的關系)，還要掌握數列的通項公式(如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式)的相關知識才是答題的關鍵．