Question

【題目】在軸同側(cè)的兩個(gè)圓：動(dòng)圓和圓外切（），且動(dòng)圓與軸相切.求

（1）動(dòng)圓的圓心軌跡方程；

（2）若直線與曲線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，求和的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2），

【解析】

（1）由可得.

由以及兩圓在軸同側(cè)，可知?jiǎng)訄A圓心在軸上方.

設(shè)動(dòng)圓圓心坐標(biāo)為，則有.

整理得到動(dòng)圓圓心軌跡方程為.

另解：由已知可得，動(dòng)圓圓心的軌跡是以為焦點(diǎn)、為準(zhǔn)線、頂點(diǎn)在（不包含該點(diǎn)）的拋物線.于是，軌跡方程為，即.

（2）聯(lián)立方程組

消去得.

由，得 ③

由式③可知，從而，.

令，代入式③可得.則，從而，.

再令，代入上式得.

同理，.

令，代入式③可得 ④

對(duì)式④進(jìn)行配方，得.

對(duì)上式進(jìn)行奇偶分析，可知均為偶數(shù)，

所以，為8的倍數(shù).故.

令，則.從而，.

所以，.

僅當(dāng)時(shí)，為完全平方數(shù).

于是，解得