Question

4．?dāng)?shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n與2的算術(shù)平均數(shù)恰好是a_n，
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)b_n=log₂a_2n-1，且$\frac{1}{_{1}_{2}}$+$\frac{1}{_{2}_{3}}$+…+$\frac{1}{_{n}_{n+1}}$＜m²-m-$\frac{3}{2}$對一切n∈N^*均成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用a_n+1=S_n+1-S_n整理得a_n+1=2a_n，進(jìn)而可得結(jié)論；
（2）通過a_n=2ⁿ、裂項可知$\frac{1}{_{n}_{n+1}}$=$\frac{1}{2}•$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），并項相加可知$\frac{1}{_{1}_{2}}$+$\frac{1}{_{2}_{3}}$+…+$\frac{1}{_{n}_{n+1}}$=$\frac{1}{2}•$（1-$\frac{1}{2n+1}$），進(jìn)而可得結(jié)論．

解答 解：（1）∵S_n與2的算術(shù)平均數(shù)恰好是a_n，
∴S_n=2a_n-2，a_n≠0，
∴S_n+1=2a_n+1-2，
∴a_n+1=S_n+1-S_n=2a_n+1-2a_n，
即a_n+1=2a_n，
又∵a₁=2a₁-2，即a₁=2，
∴a_n=2•2^n-1=2ⁿ；
（2）∵a_n=2ⁿ，
∴b_n=log₂a_2n-1=log₂2^2n-1=2n-1，
∴$\frac{1}{_{n}_{n+1}}$=$\frac{1}{2n-1}$•$\frac{1}{2n+1}$=$\frac{1}{2}•$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），
∴$\frac{1}{_{1}_{2}}$+$\frac{1}{_{2}_{3}}$+…+$\frac{1}{_{n}_{n+1}}$
=$\frac{1}{2}•$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）
=$\frac{1}{2}•$（1-$\frac{1}{2n+1}$），
∵$\frac{1}{2}•$（1-$\frac{1}{2n+1}$）隨著n的增大而增大，且越來越接近于$\frac{1}{2}$，
∴m²-m-$\frac{3}{2}$≥$\frac{1}{2}$，
整理得：（m-2）（m+1）≥0，
解得m≥2或m≤-1，
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍為：（-∞，-1]∪[2，+∞）．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列的通項及前n項和，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．