Question

（2011•丹東模擬）如圖，在豎直平面內(nèi)有一個(gè)“游戲滑道”，空白部分表示光滑滑道，黑色正方形表示障礙物，自上而下第一行有1個(gè)障礙物，第二行有2個(gè)障礙物，…，依此類(lèi)推．一個(gè)半徑適當(dāng)?shù)墓饣�均勻小球從入口A投入滑道，小球?qū)⒆杂上侣�，已知小球每次遇到正方形障礙物上頂點(diǎn)時(shí)，向左、右兩邊下落的概率都是

1

2

．記小球遇到第n行第m個(gè)障礙物（從左至右）上頂點(diǎn)的概率為P（n，m）．
（Ⅰ）求P（4，1），P（4，2）的值，并猜想P（n，m）的表達(dá)式（不必證明）；
（Ⅱ）已知f（x）=

4-x，1≤x≤3 x-3，3＜x≤6

，設(shè)小球遇到第6行第m個(gè)障礙物（從左至右）上頂點(diǎn)時(shí)，得到的分?jǐn)?shù)為ξ=f（m），試求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)已知小球每次遇到正方形障礙物上頂點(diǎn)時(shí)，向左、右兩邊下落的概率都是

1

2

，小球遇到第n行第m個(gè)障礙物（從左至右）上頂點(diǎn)的概率為P（n，m），可得P（4，1），P（4，2），可以猜想P（n，m）；            
（II）ξ的可能取值為3，2，1，求出相應(yīng)概率，可得分布列，從而可得期望．

解答：解：（I）根據(jù)已知小球每次遇到正方形障礙物上頂點(diǎn)時(shí)，向左、右兩邊下落的概率都是

1

2

，小球遇到第n行第m個(gè)障礙物（從左至右）上頂點(diǎn)的概率為P（n，m），可得P（4，1）=

C

0 3

(

1

2

)3=

1

8

，P（4，2）=

C

1 3

(

1

2

)3=

3

8

猜想P（n，m）=

C

m-1 n-1

(

1

2

)n-1；                        …（6分）
（II）ξ的可能取值為3，2，1，…（7分）
P（ξ=3）=P（6，1）+P（6，6）=

1

16

，P（ξ=2）=P（6，2）+P（6，5）=

C

1 5

(

1

2

)5=

5

16

，P（ξ=1）=P（6，3）+P（6，4）=

5

8

分布列為：

ξ	3	2	1
P	1 16	5 16	5 8

…（10分）
Eξ=3×

1

16

+2×

5

16

+1×

5

8

=

23

16

．                   …（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查概率的計(jì)算，考查離散型隨機(jī)變量的分布列與期望，解題的關(guān)鍵是確定變量的取值，求出相應(yīng)的概率．