Question

已知斜率為2的直線過雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）左焦點(diǎn)F，且與雙曲線左右兩支分別交于A、B兩點(diǎn)，若A是線段BF的中點(diǎn)，則雙曲線的離心率為（　�。�

• A、2

  2

• B、2

  3

• C、3

  2

• D、3

  5

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：不妨設(shè)A（m，n）（n＞0），則n=2（c+m），A（m，2（c+m）），求出B的坐標(biāo)，代入雙曲線方程，即可求出雙曲線的離心率．

解答： 解：不妨設(shè)A（m，n）（n＞0），則n=2（c+m），∴A（m，2（c+m））
∵斜率為2的直線與雙曲線左右兩支分別交于A、B兩點(diǎn)，A是線段BF的中點(diǎn)，
∴B（2m+c，4（c+m）），
A，B代入雙曲線方程可得

m2

a2

-

4(c+m)2

b2

=1，

(2m+c)2

a2

-

16(c+m)2

b2

=1，
∴m=-

c2+3a2

4

，
代入

m2

a2

-

4(c+m)2

b2

=1，化簡(jiǎn)可得

(c2+3a2)2

16a2

-

4• 9b4 16c2

b2

=1，
∴

(c2+3a2)2

16a2

-

9(c2-a2)

4c2

=1
∴e=

c

a

=3

5

．
故選：D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的離心率，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．