【題目】已知函數(shù)f(x)=
(1)判斷函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)和[1,+∞)上的單調(diào)性(不必證明);
(2)當(dāng)0<a<b,且f(a)=f(b)時(shí),求 的值;
(3)若存在實(shí)數(shù)a,b(1<a<b)使得x∈[a,b]時(shí),f(x)的取值范圍是[ma,mb](m≠0),求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

【答案】
(1)解:由函數(shù)f(x)的解析式可得,在(0,1)上,函數(shù)為減函數(shù);

在[1,+∞)上函數(shù)為增函數(shù).


(2)解:∵當(dāng)0<a<b,且f(a)=f(b)時(shí),∴ ﹣1=1﹣ ,

=2.


(3)若存在實(shí)數(shù)a,b(1<a<b)使得x∈[a,b]時(shí),f(x)的取值范圍是[ma,mb](m≠0),

則函數(shù)f(x)在[a,b]上是增函數(shù),故[a,b](1,+∞).

可得1﹣ =ma,1﹣ mb,故方程1﹣ =mx有2個(gè)大于1的不等實(shí)數(shù)根,

即mx2﹣x+1=0有2個(gè)大于1的不等實(shí)數(shù)根.

令h(x)=mx2﹣x+1,則有 ,求得0<m<


【解析】(1)根據(jù)函數(shù)的解析式判斷函數(shù)在區(qū)間(0,1)和[1,+∞)上的單調(diào)性.(2)由題意可得, ﹣1=1﹣ ,從而求得 的值.(3)由題意可得1﹣ =ma,1﹣ mb,故方程1﹣ =mx有2個(gè)大于1的不等實(shí)數(shù)根,即mx2﹣x+1=0有2個(gè)大于1的不等實(shí)數(shù)根.令h(x)=mx2﹣x+1,則由 求得m的范圍.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn),需要掌握函數(shù)的單調(diào)區(qū)間只能是其定義域的子區(qū)間 ,不能把單調(diào)性相同的區(qū)間和在一起寫成其并集才能正確解答此題.

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