Question

已知將一枚質(zhì)地不均勻的硬幣拋擲三次，三次正面均朝上的概率為

1

27

．
（1）求拋擲這一枚質(zhì)地不均勻的硬幣三次，僅有一次正面朝上的概率；
（2）拋擲這一枚質(zhì)地不均勻的硬幣三次后，再拋擲另一枚質(zhì)地均勻的硬幣一次，記四次拋擲后正面朝上的總次數(shù)為ξ，求隨機(jī)變量ξ的分布列及期望Eξ．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,古典概型及其概率計(jì)算公式

專題：應(yīng)用題,概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）由硬幣拋擲三次，三次正面均朝上的概率為

1

27

，設(shè)出擲一次這樣的硬幣，正面朝上的概率為r，由獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)公式列出方程，解方程得到r的值．再由獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)公式得到結(jié)果．
（2）拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣四次拋擲后正面朝上的總次數(shù)為ξ，由題意知ξ的可能取值是0、1、2、3、4，根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)公式得到結(jié)果，寫出分布列，算出期望．

解答： 解：（1）設(shè)擲一次這樣的硬幣，正面朝上的概率為r，
則依題意有：

C

3 3

•r3=

1

27

．
可得r=

1

3

．
∴拋擲這一枚質(zhì)地不均勻的硬幣三次，僅有一次正面朝上的概率為

C

1 3

•

1

3

•(

2

3

)2=

4

9

；
（2）由題設(shè)知ξ的取值為0，1，2，3，4，
P（ξ=0）=

C

0 3

•(

2

3

)3•

1

2

=

4

27

，
P（ξ=1）=

C

0 3

•(

2

3

)3•

1

2

+

C

1 3

•

1

3

•(

2

3

)2•

1

2

=

10

27

，
P（ξ=2）=

C

1 3

•

1

3

•(

2

3

)2•

1

2

+

C

2 3

•(

1

3

)2•

2

3

•

1

2

=

9

27

，
P（ξ=3）=

C

2 3

•(

1

3

)2•

2

3

•

1

2

+

C

3 3

•(

1

3

)3•

1

2

=

7

54

，
P（ξ=4）=

C

3 3

•(

1

3

)3•

1

2

=

1

54

．
∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3	4
P	4 27	10 27	9 27	7 54	1 54

∴Eξ=0×

4

27

+1×

10

27

+2×

9

27

+3×

7

54

+4×

1

54

=

3

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率公式的運(yùn)用，考查離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望，確定變量的取值，求出相應(yīng)的概率是關(guān)鍵．