Question

已知雙曲線(xiàn)

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的離心率為e=2，
（1）雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為

 

；
（2）過(guò)雙曲線(xiàn)上一點(diǎn)M作直線(xiàn)AM，MB交雙曲線(xiàn)于A，B兩點(diǎn)，且斜率分別為是k₁，k₂，若直線(xiàn)AB過(guò)原點(diǎn)O，則k₁•k₂的值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專(zhuān)題：綜合題,圓錐曲線(xiàn)的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由雙曲線(xiàn)

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的離心率為e=2，可得

c

a

=2，即可求出雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程；
（2）設(shè)點(diǎn)，求出斜率，代入雙曲線(xiàn)方程，兩方程相減，結(jié)合雙曲線(xiàn)的離心率，即可求得結(jié)論．

解答： 解：（1）∵雙曲線(xiàn)

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的離心率為e=2，
∴

c

a

=2，
∴

b

a

=

3

，
∴雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為y=±

3

x；
（2）設(shè)M（x，y），A（x₁，y₁），B（-x₁，-y₁），則k₁•k₂=

y2-y12

x2-x12

∵

x2

a2

-

y2

b2

=1，

x12

a2

-

y12

b2

=1
∴兩式相減整理可得

y2-y12

x2-x12

=

b2

a2

∵雙曲線(xiàn)的離心率e=2，
∴1+

b2

a2

=4，
∴

y2-y12

x2-x12

=

b2

a2

=3
∴k₁•k₂=3
故答案為：（1）y=±

3

x．（2）3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)，考查斜率的計(jì)算，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．