Question

已知函數(shù)f（x）．
（1）若f（x）=-x²，對(duì)于任意x₁，x₂，且x₁＜x₂．求證：f（

x1+x2

2

）＞

f(x1)+f(x2)

2

；
（2）若f（x）=lgx，對(duì)于任意的正數(shù)x₁，x₂，且x₁＜x₂．是否具有（1）中類(lèi)似的結(jié)論？請(qǐng)你作出猜想，并加以證明．

Answer 1

考點(diǎn)：對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì),二次函數(shù)的性質(zhì)

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）利用基本不等式即可證明，
（2）具有類(lèi)似的性質(zhì)，證明方式同（1）

解答： 解：（1）f（

x1+x2

2

）=-（

x1+x2

2

）²=-

1

4

（x₁²+x₂²+2x₁x₂）＞-

1

4

（x₁²+x₂²+x₁²+x₂²）=-

1

2

（x₁²+x₂²）=

f(x1)+f(x2)

2

；
（2）具有（1）中類(lèi)似的結(jié)論，
理由如下：f（

x1+x2

2

）=lg（

x1+x2

2

）＞lg

x1x2

=

1

2

lgx₁x₂=

1

2

（lgx₁+lgx₂）=

f(x1)+f(x2)

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)凸凹性的性質(zhì)的證明，利用了基本不等式，屬于基礎(chǔ)題