已知橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，且離心率為
3
2
．
（1）若過F1的直線交橢圓E于P，Q兩點(diǎn)，且
PF1
=3
F1Q
，求直線PQ的斜率；
（2）若橢圓E過點(diǎn)（0，1），且過F1作兩條互相垂直的直線，它們分別交橢圓E于A，C和B，D，求四邊形ABCD面積的最大值和最小值．
分析：（1）利用橢圓的第二定義，構(gòu)建三角形，求得三邊長(zhǎng)，即可求得直線PQ的斜率；
（2）求出橢圓方程，當(dāng)AC為2a，DB⊥x軸時(shí)，面積有最大值，最大值為2；當(dāng)兩條直線斜率都存在時(shí)，求出AC，BD的長(zhǎng)，表示出四邊形ABCD面積為S=
1
2
|AC||BD|，利用基本不等式，即可求得結(jié)論．
解答：解：（1）設(shè)橢圓的左準(zhǔn)線為l，作PD⊥x軸于D，作PN⊥l于N，由第二定義得|PN|=
2
3
3
|PF1|．
作QM⊥l于M，得|QM|=
2
3
3
|F1Q|=
2
3
9
|PF1|，
作QE⊥PN于E，交軸于點(diǎn)A得|EP|=4|AF1|=
4
3
9
|PF1|，
∴|F1D|=3|AF1|=
3
3
|PF1|，
∴|PD|=
6
3
|PF1|，
∴直線PQ的斜率為±
|PF1|
|F1D|
=±
2
；
（2）由題意，b=1，又
c
a
=
3
2
，∴a=2，b=1，c=
3
，
∴橢圓方程為
x2
4
+y2=1．
∵DB、AC為過焦點(diǎn)的兩條直線，∴當(dāng)AC為2a，DB⊥x軸時(shí)，面積有最大值，最大值為2；
當(dāng)兩條直線斜率都存在時(shí)，F(xiàn)1（-
3
，0），設(shè)直線AC的方程為y=k（x-
3
）
與橢圓聯(lián)立消去y，（
1
4
+k2）x2-2
3
k2x+3k2-1=0
設(shè)A（x1，y1），C（x2，y2），則x1+x2=
2
3
k2
1
4
+k2
，x1x2=
3k2-1
1
4
+k2

∴|AC|=
1+k2
|x1-x2|=
1+k2
×
(x1+x1)2-4x1x2
=
k2+1
1
4
+k2

同理可得|BD|=
4+4k2
k2+4
，
∴四邊形ABCD面積為S=
1
2
|AC||BD|=
1
2
×
2+k2+
1
k2
17
16
+
1
4
(k2+
1
k2
)

令t=k2+
1
k2
，則t≥2，∴S=
1
2
×
2+t
17
16
+
1
4
t
=2×
2+t
17
4
+t
=2（1-
9
4
17
4
+t
）
∵t≥2，∴0＜
9
4
17
4
+t
≤
9
25
，∴
32
25
≤S＜2
∴四邊形ABCD面積最小值為
32
25
．
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的第二定義，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查四邊形面積的計(jì)算，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，已知橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），焦點(diǎn)為F1、F2，雙曲線G：x2-y2=m（m＞0）的頂點(diǎn)是該橢圓的焦點(diǎn)，設(shè)P是雙曲線G上異于頂點(diǎn)的任一點(diǎn)，直線PF1、PF2與橢圓的交點(diǎn)分別為A、B和C、D，已知三角形ABF2的周長(zhǎng)等于8
2
，橢圓四個(gè)頂點(diǎn)組成的菱形的面積為8
2
．
（1）求橢圓E與雙曲線G的方程；
（2）設(shè)直線PF1、PF2的斜率分別為k1和k2，探求k1和k2的關(guān)系；
（3）是否存在常數(shù)λ，使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立？若存在，試求出λ的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），以F1（-c，0）為圓心，以a-c為半徑作圓F1，過點(diǎn)B2（0，b）作圓F1的兩條切線，設(shè)切點(diǎn)為M、N．
（1）若過兩個(gè)切點(diǎn)M、N的直線恰好經(jīng)過點(diǎn)B1（0，-b）時(shí)，求此橢圓的離心率；
（2）若直線MN的斜率為-1，且原點(diǎn)到直線MN的距離為4（
2
-1），求此時(shí)的橢圓方程；
（3）是否存在橢圓E，使得直線MN的斜率k在區(qū)間（-
2
2
，-
3
3
）內(nèi)取值？若存在，求出橢圓E的離心率e的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓E：
x2
a2
+
y2
3
=1（a＞
3
）的離心率e=
1
2
．直線x=t（t＞0）與曲線 E交于不同的兩點(diǎn)M，N，以線段MN 為直徑作圓 C，圓心為 C．
 （1）求橢圓E的方程；
 （2）若圓C與y軸相交于不同的兩點(diǎn)A，B，求△ABC的面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2012•佛山二模）已知橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的一個(gè)交點(diǎn)為F1(-
3
，0)，而且過點(diǎn)H(
3
，
1
2
)．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）設(shè)橢圓E的上下頂點(diǎn)分別為A1，A2，P是橢圓上異于A1，A2的任一點(diǎn)，直線PA1，PA2分別交x軸于點(diǎn)N，M，若直線OT與過點(diǎn)M，N的圓G相切，切點(diǎn)為T．證明：線段OT的長(zhǎng)為定值，并求出該定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓E：
x2
a2
+y2=1（a＞1）的離心率e=
3
2
，直線x=2t（t＞0）與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)M、N，以線段MN為直徑作圓C，圓心為C
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）當(dāng)圓C與y軸相切的時(shí)候，求t的值；
（Ⅲ）若O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求△OMN面積的最大值．

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