Question

已知函數f(x)＝ln x－ax＋1在x＝2處的切線斜率為－.

(1)求實數a的值及函數f(x)的單調區(qū)間；

(2)設g(x)＝，對?x1∈(0，＋∞)，?x2∈(－∞，0)使得f(x1)≤g(x2)成立，求正實數k的取值范圍；

(3)證明： ＋＋…＋<(n∈N*，n≥2)．

 

Answer 1

（1）即f(x)的單調遞增區(qū)間為(0,1)，單調遞減區(qū)間為(1，＋∞)．

（2）k≥1

（3）見解析

【解析】(1)解　由已知得f′(x)＝－a，∴f′(2)＝－a＝－，解得a＝1.

于是f′(x)＝－1＝，

當x∈(0,1)時，f′(x)>0，f(x)為增函數，

當x∈(1，＋∞)時，f′(x)<0，f(x)為減函數，

即f(x)的單調遞增區(qū)間為(0,1)，單調遞減區(qū)間為(1，＋∞)．

(2)解　由(1)知x1∈(0，＋∞)，f(x1)≤f(1)＝0，即f(x1)的最大值為0，

由題意知：對?x1∈(0，＋∞)，?x2∈(－∞，0)使得f(x1)≤g(x2)成立，

只需f(x)max≤g(x)max.

∵g(x)＝＝x＋＋2k＝－＋2k≤－2＋2k，

∴只需－2 ＋2k≥0，解得k≥1.

(3)證明　要證明＋＋…＋<(n∈N*，n≥2)．

只需證＋＋…＋<，

只需證＋＋…＋<.

由(1)當x∈(1，＋∞)時，f′(x)<0，f(x)為減函數，

f(x)＝ln x－x＋1≤0，即ln x≤x－1，

∴當n≥2時，ln n2<n2－1，

<＝1－<1－＝1－＋，

＋＋…＋<＋＋…＋＝n－1－＋＝，

∴ ＋＋…＋<.