Question

已知函數(shù)，（）

（1）若函數(shù)存在極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；

（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（3）當(dāng)且時(shí)，令，()，()為曲線y=上的兩動(dòng)點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，能否使得是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且斜邊中點(diǎn)在y軸上？請(qǐng)說(shuō)明理由。

 

Answer 1

【答案】

（1）

（2）當(dāng)時(shí)，，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為。

（3）對(duì)任意給定的正實(shí)數(shù)，曲線上總存在兩點(diǎn)，使得是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且斜邊中點(diǎn)在y軸上

【解析】

試題分析：解：（Ⅰ），若存在極值點(diǎn)，則有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根。所以，              2分

解得               3分

(Ⅱ)               4分

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；       5分

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為。

7分

（Ⅲ） 當(dāng)且時(shí)，假設(shè)使得是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且斜邊中點(diǎn)在y軸上。則且。     8分

不妨設(shè)。故，則。，該方程有解          9分

當(dāng)時(shí)，則，代入方程得即，而此方程無(wú)實(shí)數(shù)解；              10分

當(dāng)時(shí)，則；         11分

當(dāng)時(shí)，則，代入方程得即，               12分

設(shè)，則在上恒成立。在上單調(diào)遞增，從而，則值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013061510450439923489/SYS201306151045526805543900_DA.files/image045.png">。

當(dāng)時(shí)，方程有解，即方程有解。     13分

綜上所述，對(duì)任意給定的正實(shí)數(shù)，曲線上總存在兩點(diǎn)，使得是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且斜邊中點(diǎn)在y軸上。           14分

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用

點(diǎn)評(píng)：主要是考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)單調(diào)性以及函數(shù)與方程思想的綜合運(yùn)用，屬于中檔題。