Question

已知{a_n}滿足：

12

a1

+

22

a2

+

32

a3

+…+

n2

an

=(

n(n+1)

2

)2 （n=1，2，3，…）．
（Ⅰ） 求{a_n}的通項公式；
（Ⅱ） 若數(shù)列{b_n}滿足，bn=

a 2 n

2an+1

（n=1，2，3，…），試{b_n}前n項的和S_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）模仿題目給出的遞推式，取n=n-1得到另一遞推式，兩式作差后即可得到結(jié)論；
（Ⅱ）把（Ⅰ）中求得到a_n代入bn=

a 2 n

2an+1

，整理后利用裂項相消可求{b_n}前n項的和S_n．

解答：解：（Ⅰ）由

12

a1

+

22

a2

+…+

n2

an

=(

n(n+1)

2

)2①
當(dāng)n≥2時，

12

a1

+

22

a2

+…+

(n-1)2

an-1

=(

n(n-1)

2

)2②
①-②得：

n2

an

=

n(n+1)+n(n-1)

2

×

n(n+1)-n(n-1)

2

=n³，
所以，an=

1

n

（n≥2）．
當(dāng)n=1時，a₁=1符合an=

1

n

，所以，an=

1

n

；
（Ⅱ）由bn=

an2

2an+1

=

1 n2

2 n +1

=

1

n(n+2)

．
所以，S_n=b₁+b₂+…+b_n
=

1

2

(1-

1

3

+

1

2

-

1

4

+

1

3

-

1

5

+…+

1

n-1

-

1

n+1

+

1

n

-

1

n+2

)
=

1

2

(1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

)
=

3

4

-

2n+3

2(n+1)(n+2)

．

點評：本題考查了數(shù)列的遞推式，考查了等差數(shù)列的通項公式的求法，考查了一種重要的數(shù)列求和公式的方法，即裂項相消法，該題需要注意的是，采用列項相消時最前邊和最后邊剩余的項，此題是中檔題．