Question

設(shè)函數(shù)y=f（x）（x∈R₊）對(duì)任意正數(shù)x，y恒有①f（x•y）=f（x）+f（y），②f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，解不等式f（x）+f（x-

1

2

）≤0．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)條件①，令x=y=1，則f（1）=0，根據(jù)條件①，從而將原不等式轉(zhuǎn)化為f[x（x-

1

2

）]≤f（1），根據(jù)條件②得到不等式組，注意定義域，解出x的范圍即可．

解答： 解：∵任意正數(shù)x，y恒有f（x•y）=f（x）+f（y），
∴令x=y=1，則f（1）=2f（1），
即f（1）=0，
∴f（x）+f（x-

1

2

）≤0，
即f[x（x-

1

2

）]≤f（1），
∵f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
∴

x＞0 x- 1 2 ＞0 x(x- 1 2 )≤1

即

x＞0 x＞ 1 2 1- 17 4 ≤x≤ 1+ 17 4

，
∴

1

2

＜x≤

1+ 17

4

．
∴原不等式的解集為{x|

1

2

＜x≤

1+ 17

4

}．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性及運(yùn)用，解題應(yīng)注意函數(shù)的定義域，同時(shí)考查解決抽象函數(shù)常用方法：賦值法，是一道基礎(chǔ)題．