Question

設(shè)函數(shù)g（x）=3^x，h（x）=9^x．
（1）解方程：h（x）-8g（x）-h（1）=0；
（2）令p（x）=

g(x)

g(x)+ 3

，求證：p（

1

2014

）+p（

2

2014

）+…+p（

2013

2014

）=

2013

2

；
（3）若f（x）=

g(x+1)+a

g(x)+b

是實數(shù)集R上的奇函數(shù)，且f（h（x）-1）+f（2-k•g（x））＞0對任意實數(shù)x恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由已知條件推導(dǎo)出9^x-8•3^x-9=0，由此能求出原方程的解．
（2）由已知條件推導(dǎo)出ρ（

1007

2014

）=

1

2

，ρ（x）+ρ（1-x）=1，由此能證明ρ（

1

2014

）+ρ（

2

2014

）+…+ρ（

2013

2014

）=

2013

2

．
（3）由已知條件推導(dǎo)出a=-3，b=1．由此利用已知條件能求出實數(shù)k的取值范圍．

解答： （1）解：∵g（x）=3^x，h（x）=9^x．
h（x）-8g（x）-h（1）=0，
∴9^x-8•3^x-9=0，解得3^x=9，x=2．
（2）證明：ρ（

1007

2014

）=ρ（

1

2

）=

3

2 3

=

1

2

．
∵ρ（x）+ρ（1-x）=

3x

3x+ 3

+

31-x

31-x+ 3

=

3x

3x+ 3

+

3

3x+ 3

=1，
∴ρ（

1

2014

）+ρ（

2

2014

）+…+ρ（

2013

2014

）=1006+

1

2

=

2013

2

．
（3）解：∵f（x）=

ϕ(x+1)+a

ϕ(x)+b

是實數(shù)集上的奇函數(shù)，
∴a=-3，b=1．f（x）=3（1-

2

3x+1

），f（x）在實數(shù)集上單調(diào)遞增．
由f（h（x）-1）+f（2-k•g（x））＞0，
得f（h（x）-1）＞-f（2-k•g（x）），
又∵f（x）是實數(shù)集上的奇函數(shù)，
∴f（h（x）-1）＞f（k•g（x）-2），
又∵f（x）在實數(shù)集上單調(diào)遞增，∴h（x）-1＞k•g（x）-2，
即3^2x-1＞k•3^x-2對任意的x∈R都成立，
即k＜3^x+

1

3x

對任意的x∈R都成立，k＜2．

點評：本題考查方程的解法，考查等式的證明，考查實數(shù)的取值范圍的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意函數(shù)的單調(diào)性的合理運用．