Question

15．已知x²+y²-xy=1，求u=x²-y²的最大值和最小值．

Answer 1

分析 換元法，領(lǐng)x=a+b，y=a-b，已知式子可化為a²+3b²=1，u=4ab，由基本不等式可得ab的范圍，進(jìn)而可得u的范圍．

解答 解：設(shè)x=a+b，y=a-b，
則x²+y²-xy=1可化為（a+b）²+（a-b）²-（a+b）（a-b）=1，
整理可得a²+3b²=1，∴u=x²-y²=（a+b）²-（a-b）²=4ab，
∵1=a²+3b²≥2$\sqrt{3}$|ab|，∴|ab|≤$\frac{1}{2\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$，
∴-$\frac{\sqrt{3}}{6}$≤ab≤$\frac{\sqrt{3}}{6}$，∴-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$≤4ab≤$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴u=x²-y²的最大值和最小值分別為$\frac{2\sqrt{3}}{3}$和-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查基本不等式求最值，換元是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題．