Question

已知函數(shù)
（1）若a=4，求f（x）在x∈（1，+∞）上的最小值；
（2）解不等式f（x）≤0．

Answer 1

【答案】分析：（1）將a=4代入f（x），整理變形可得f（x）=（x-1）+-4，由基本不等式的性質(zhì)，可得（x-1）+-4≥2-4，即可得答案；
（2）根據(jù)題意，首先對(duì)f（x）變形可得，f（x）=，即解≤0即可，按a的取值范圍的不同分5種情況討論，可得答案．
解答：解：（1）若a=4，則f（x）===（x-1）+-4，
當(dāng)x∈（1，+∞），即x-1＞0時(shí)，（x-1）+-4≥2-4，
則f（x）在x∈（1，+∞）上的最小值為2-4；
（2）f（x）==，
f（x）≤0，即≤0，
進(jìn)而分類討論，
當(dāng)a＜1時(shí)，由穿線法可得，其解集為x≤a或1＜x≤2，
當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=x-2，且x≠1，則其解集為x≤2且x≠1，
當(dāng)1＜a＜2時(shí)，由穿線法可得，其解集為x＜1或a≤x≤2，
當(dāng)a=2時(shí)，f（x）=，則其解集為x＜1，
當(dāng)a＞2時(shí)，由穿線法可得，其解集為x＜1或2≤x≤a；
故不等式f（x）≤0的解集情況為：
當(dāng)a＜1時(shí)，其解集為{x|x≤a或1＜x≤2}，
當(dāng)a=1時(shí)，其解集為{x|x≤2且x≠1}，
當(dāng)1＜a＜2時(shí)，其解集為{x|x＜1或a≤x≤2}，
當(dāng)a=2時(shí)，其解集為{x|x＜1}，
當(dāng)a＞2時(shí)，其解集為{x|x＜1或2≤x≤a}．
點(diǎn)評(píng)：本題考查分式不等式的解法，涉及基本不等式的運(yùn)用與分類討論的數(shù)學(xué)思想，解分式不等式時(shí)，注意分母不能為0．