Question

已知定義域?yàn)椋?∞，0）∪（0，+∞）的偶函數(shù)g（x）在（-∞，0）內(nèi)為單調(diào)遞減函數(shù)，且g（x•y）=g（x）+g（y）對(duì)任意的x，y都成立，g（2）=1．
（1）證明g（x）在（0，+∞）內(nèi)為單調(diào)遞增函數(shù)
（2）求g（4）的值；
（3）求滿足條件g（x）＞g（x+1）+2的x的取值范圍．

Answer 1

解：（1）設(shè)0＜x₁＜x₂，則0＞-x₁＞-x₂，
∵g（x）在（-∞，0）為單調(diào)遞減函數(shù)，∴g（-x₁）＞g（-x₂），
∵g（x）為偶函數(shù)，∴-g（x₁）＞-g（x₂），即g（x₁）＜g（x₂），
∴g（x）在（0，+∞）為單調(diào)遞增函數(shù)．
（2）令x=y=2代入g（x•y）=g（x）+g（y）得，
g（4）=g（2×2）=g（2）+g（2）=2，
（3）∵g（x）＞2+g（x+1）=g（4）+g（x+1）=g[4（x+1）]
∵g（x）為偶函數(shù)，∴g（|x|）＞g[|4（x+1）|]
由（1）得，g（x）在（0，+∞）為單調(diào)遞增函數(shù)，
∴
解得或，
綜上x的取值范圍為．
分析：（1）設(shè)0＜x₁＜x₂，則0＞-x₁＞-x₂，利用偶函數(shù)的關(guān)系式和單調(diào)性進(jìn)行轉(zhuǎn)化，得到g（x₁）＜g（x₂），即得證；
（2）由g（x•y）=g（x）+g（y）對(duì)任意的x，y都成立及g（2）=1，取x=y=2可求g（4）；
（3）結(jié)合（2）和已知把不等式化為g（x）＞g[4（x+1）]，g（x）為偶函數(shù)，且在（-∞，0）為單調(diào)遞減函數(shù)，可得g（x）在（0，+∞）為單調(diào)遞增函數(shù)．從而可得|x|＞4|x+1|，|x+1|≠0，解不等式可求x的取值范圍．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用賦值法求解抽象函數(shù)的函數(shù)值，偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性的證明，解決本題的關(guān)鍵是由偶函數(shù)y=g（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增，g（a）＞g（b）可得|a|＞|b|，考生容易漏函數(shù)的定義域，從而誤寫為a＞b．