Question

已知f（x）=xlnx，g（x）=-x²+ax-3．
（1）求函數(shù)f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；
（2）對一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）證明：對一切x∈（0，+∞），都有lnx＞

1

ex

-

2

ex

成立．

Answer 1

分析：（1）對函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)與0的關(guān)系寫出函數(shù)的單調(diào)性和區(qū)間，討論所給的區(qū)間和求出的單調(diào)區(qū)間之間的關(guān)系，在不同條件下做出函數(shù)的最值．
（2）根據(jù)兩個(gè)函數(shù)的不等關(guān)系恒成立，先求出兩個(gè)函數(shù)的最值，利用最值思想解決，主要看兩個(gè)函數(shù)的最大值和最小值之間的關(guān)系，得到結(jié)果．
（3）要證明不等式成立，問題等價(jià)于證明xlnx＞

x

ex

-

2

e

(x∈(0，+∞))，由（1）可知f（x）=xlnx（x∈（0，+∞））的最小值是-

1

e

，構(gòu)造新函數(shù)，得到結(jié)論．

解答：解：（1）f'（x）=lnx+1，當(dāng)x∈(0，

1

e

)，f'（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，
當(dāng)x∈(

1

e

，+∞)，f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增．
①0＜t＜t+2＜

1

e

，t無解；
②0＜t＜

1

e

＜t+2，即0＜t＜

1

e

時(shí)，f(x)min=f(

1

e

)=-

1

e

；
③

1

e

≤t＜t+2，即t≥

1

e

時(shí)，f（x）在[t，t+2]上單調(diào)遞增，f（x）_min=f（t）=tlnt；
∴f(x)min=

- 1 e ，0＜t＜ 1 e tlnt，t≥ 1 e

．
（2）2xlnx≥-x²+ax-3，則a≤2lnx+x+

3

x

，
設(shè)h(x)=2lnx+x+

3

x

(x＞0)，則h′(x)=

(x+3)(x-1)

x2

，
x∈（0，1），h'（x）＜0，h（x）單調(diào)遞減，x∈（1，+∞），h'（x）＞0，h（x）單調(diào)遞增，
所以h（x）_min=h（1）=4
因?yàn)閷σ磺衳∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，所以a≤h（x）_min=4；
（3）問題等價(jià)于證明xlnx＞

x

ex

-

2

e

(x∈(0，+∞))，
由（1）可知f（x）=xlnx（x∈（0，+∞））的最小值是-

1

e

，當(dāng)且僅當(dāng)x=

1

e

時(shí)取到
設(shè)m(x)=

x

ex

-

2

e

(x∈(0，+∞))，則m′(x)=

1-x

ex

，易得m(x)max=m(1)=-

1

e

，
當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取到，從而對一切x∈（0，+∞），都有lnx＞

1

ex

-

2

ex

成立．

點(diǎn)評：不同考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，利用最值解決函數(shù)的恒成立思想，不同解題的關(guān)鍵是構(gòu)造新函數(shù)，利用新函數(shù)的性質(zhì)解決問題．