Question

（2012•無為縣模擬）若向量

m

=(sinωx，

3

sinωx)，

n

=（cosωx，sinωx）（ω＞0），在函數(shù)f（x）=

m

•

n

+t的圖象中，對(duì)稱中心到對(duì)稱軸的最小距離為

π

4

，且當(dāng)x∈[0，

π

3

]時(shí)，f（x）的最大值為

3

．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析：先根據(jù)向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示及二倍角公式、輔助角公式對(duì)已知函數(shù)解析式進(jìn)行化簡
（1）由對(duì)稱中心到對(duì)稱軸的最小距離可得函數(shù)的最小周期T，然后結(jié)合周期公式可求ω，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)可求函數(shù)的最大值，結(jié)合已知即可求解t
（2）由2kπ-

1

2

π≤2x-

1

3

π≤2kπ+

1

2

π，解不等式即可求解

解答：解：由題意可得，f（x）=

m

•

n

+t=siωxcosωx+

3

sin2ωx+t
=

1

2

sin2ωx-

3

2

cos2ωx+t
=sin（2ωx-

1

3

π）+t+

3

2

（1）由對(duì)稱中心到對(duì)稱軸的最小距離為

π

4

可得函數(shù)的最小周期T=π
∴

2π

π

=2ω
∴ω=1，f（x）=sin（2x-

π

3

）+t+

3

2

當(dāng)x∈[0，

1

3

π]時(shí)，2x-

π

3

∈[-

π

3

，

π

3

]，sin（2x-

π

3

）∈[-

3

2

，

3

2

]
∴f（x）∈[t，t+

3

]
∵函數(shù)的最大值為

3

∴

3

+t=

3

∴t=0
∴f(x)=sin(2x-

π

3

)+

3

2

（2）由2kπ-

1

2

π≤2x-

1

3

π≤2kπ+

1

2

π可得kπ-

π

12

≤x≤kπ+

5π

12

所以函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-

π

12

，kπ+

5π

12

](k∈Z)．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了由正弦函數(shù)的性質(zhì)求解函數(shù)的解析式及結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)求解函數(shù)的最值及單調(diào)區(qū)間，屬于函數(shù)知識(shí)的綜合應(yīng)用