下列命題中,正確命題的個數(shù)是( 。
①命題“?x∈R,使得x3+1<0”的否定是““?x∈R,都有x3+1>0”.
②雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,a>0)中,F(xiàn)為右焦點,A為左頂點,點B(0,b)且
AB
BF
=0,則此雙曲線的離心率為
5
+1
2

③在△ABC中,若角A、B、C的對邊為a、b、c,若cos2B+cosB+cos(A-C)=1,則a、c、b成等比數(shù)列.
④已知
a
,
b
是夾角為120°的單位向量,則向量λ
a
+
b
a
-2
b
垂直的充要條件是λ=
5
4
分析:①利用命題的否定,即可判斷其真假;
②利用雙曲線的離心率的性質(zhì)可判斷其正誤,
③將cosB=-cos(A+C)代入已知,整理可得sinAsinC=sin2B,再利用正弦定理可判斷③的正誤;
④利用向量的坐標運算與向量垂直的性質(zhì)可判斷其正誤.
解答:解:①命題“?x∈R,使得x3+1<0”的否定是““?x0∈R,使得x03+1≥0”,故①錯誤;
②,依題意,F(xiàn)(c,0),A(-a,0),∵點B(0,b),
AB
=(a,b),
BF
=(c,-b),
AB
BF
=0,
∴ac-b2=0,而b2=c2-a2,
∴c2-ac-a2=0,兩端同除以a2得:e2-e-1=0,
解得e=
5
+1
2
或e=
1-
5
2
(舍去),
故②正確;
③,在△ABC中,∵A+B+C=180°,
∴cosB=-cos(A+C),
∴原式化為:cos2B-cos(A+C)+cos(A-C)=1,
∴cos(A-C)-cos(A+C)=1-cos2B,
∵cos(A-C)-cos(A+C)=2sinAsinC,1-cos2B=2sin2B,
∴sinAsinC=sin2B,
由正弦定理得:b2=ac,故③a、c、b成等比數(shù)列錯誤;
④,∵
a
,
b
是夾角為120°的單位向量,
∴(λ
a
+
b
)⊥(
a
-2
b
)?(λ
a
+
b
)•(
a
-2
b
)=0?λ
a
2
-2
b
2
+(1-2λ)
a
b
=0?λ-2+(1-2λ)×1×1×(-
1
2
)=0?2λ-2-
1
2
=0,
∴λ=
5
4
.故④正確;
綜上所述,正確命題的個數(shù)是2個.
故選B.
點評:本題考查命題的真假判斷與應用,著重考查命題的否定,向量的坐標運算,考查余弦定理與正弦定理的綜合應用,考查雙曲線的性質(zhì),綜合性強,屬于難題.
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相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

下列命題中,正確命題的個數(shù)為( 。
nan
=a
②若a∈R,則(a2-a+1)0=1
x4+y3
=x
4
3
+y

3-5
=
6(-5)2
A、0B、1C、2D、.3

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

下列命題中,正確命題的個數(shù)為( 。
①命題“若
x-2
+(y+1)2=0
,則x=2且y=-1”的逆命題是真命題;
②P:個位數(shù)字為零的整數(shù)能被5整除,則?P:個位數(shù)字不是零的整數(shù)不能被5整除;
③莖葉圖中,去掉一個最大的數(shù)和一個最小的數(shù)后,所剩數(shù)據(jù)的方差與原來不相同.
A、0B、1C、2D、3

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

下列命題中,正確命題的序號是
①④⑤
①④⑤

①若sin(3π+α)=-
1
2
,α∈(
π
2
,π)
,則sin(
2
-α)的值是
3
2
;
②終邊在y軸上的角的集合是{α|a=
2
,k∈Z
};
③在同一坐標系中,函數(shù)y=sinx的圖象與函數(shù)Y=X的圖象有3個公共點;
④把函數(shù)y=3sin(2x+
π
3
)的圖象向右平移
π
6
得到y(tǒng)=3sin2x的圖象;
⑤函數(shù)y=sin(x-
π
3
)的一個對稱中心是(-
3
,0).

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

下列命題中:
a
b
?存在唯一的實數(shù)λ∈R,使得
b
a
;
e
為單位向量,且
a
e
,則
a
=±|
a
|•
e
;
|
a
a
a
|=|
a
|3

a
b
共線,
b
c
共線,則
a
c
共線;
⑤若
a
b
=
b
c
b
0
,則
a
=
c

其中正確命題的序號是(  )

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2013•薊縣二模)下列命題中,正確命題的個數(shù)為( 。
①若xy=0,則x=0或y=0”的逆否命題為“若x≠0且y≠0,則xy≠0;
②函數(shù)f(x)=ex+x-2的零點所在區(qū)間是(1,2);
③x=2是x2-5x+6=0的充分不必要條件.

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