在數(shù)列{an}中，a1＝1，當n≥2時，an，Sn，Sn－成等比數(shù)列.

(1)求a2，a3，a4，并推出an的表達式；

(2)用數(shù)學歸納法證明所得的結論.

【解析】∵an，Sn，Sn－成等比數(shù)列，

∴＝an·(Sn－)(n≥2)　　　(*)

(1)由a1＝1，得S2＝a1＋a2＝1＋a2，

代入(*)式得：a2＝－，

由a1＝1，a2＝－，得

S3＝＋a3代入(*)式得：a3＝－，

同理可得：a4＝－，由此可推出：

an＝

(2)①當n＝1,2,3,4時，由(1)知猜想成立.

②假設n＝k(k≥2)時，ak＝－成立，

故＝－·(Sk－)

∴(2k－3)(2k－1)＋2Sk－1＝0

∴Sk＝，Sk＝－(舍)

由Sk＋12＝ak＋1·(Sk＋1－)，

得(Sk＋ak＋1)2＝ak＋1(ak＋1＋Sk－)

⇒＋ak＋12＋＝ak＋12＋－ak＋1

⇒ak＋1＝，即n＝k＋1時命題也成立.

由①②知，an＝對一切n∈N＋成立.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在數(shù)列{an}中，
a
 
1
=1，an=
1
2
an-1+1（n≥2），則數(shù)列{an}的通項公式為an=
2-21-n
2-21-n
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在數(shù)列{an}中，a 1=
1
3
，并且對任意n∈N*，n≥2都有an•an-1=an-1-an成立，令bn=
1
an
（n∈N*）．
（Ⅰ）求數(shù)列{bn}的通項公式；
（Ⅱ）設數(shù)列{
an
n
}的前n項和為Tn，證明：
1
3
≤Tn＜
3
4
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在數(shù)列{an}中，a=
12
，前n項和Sn=n2an，求an+1．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在數(shù)列{an}中,a1=a,前n項和Sn構成公比為q的等比數(shù)列,________________.

(先在橫線上填上一個結論,然后再解答)

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在數(shù)列{an}中，a，并且對任意n∈N*，n≥2都有an•an-1=an-1-an成立，令bn=（n∈N*）．
（Ⅰ）求數(shù)列{bn}的通項公式；
（Ⅱ）設數(shù)列{}的前n項和為Tn，證明：．

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