Question

19．設(shè)函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$x²-2ax+（2a-1）lnx，其中a∈R．
（I）a=1時(shí)，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程．
（Ⅱ）討論函數(shù)y=f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

分析 （I）求出導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率和切點(diǎn)坐標(biāo)，由直線方程的形式即可得到切線方程；
（Ⅱ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，并分解因式，討論當(dāng)a≤$\frac{1}{2}$時(shí)，當(dāng)$\frac{1}{2}$＜a＜1時(shí)，當(dāng)a=1，當(dāng)a＞1時(shí)，由導(dǎo)數(shù)大于0可得增區(qū)間，由導(dǎo)數(shù)小于0，可得減區(qū)間．

解答 解：（I）f（x）=$\frac{1}{2}$x²-2x+lnx的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=x-2+$\frac{1}{x}$，
即有曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線斜率為k=1-2+1=0，
切點(diǎn)為（1，-$\frac{3}{2}$），
則曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為y=-$\frac{3}{2}$；
（Ⅱ）函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$x²-2ax+（2a-1）lnx的導(dǎo)數(shù)為
f′（x）=x-2a+$\frac{2a-1}{x}$=$\frac{{x}^{2}-2ax+2a-1}{x}$=$\frac{（x-1）（x-2a+1）}{x}$，
當(dāng)a=1時(shí)，f′（x）=$\frac{（x-1）^{2}}{x}$≥0，f（x）在（0，+∞）遞增；
當(dāng)a＞1時(shí)，2a-1＞1，由f′（x）＞0，可得0＜x＜1或x＞2a-1；
由f′（x）＜0，可得1＜x＜2a-1；
即有f（x）的減區(qū)間為（1，2a-1），增區(qū)間為（0，1），（2a-1，+∞）；
當(dāng)a=$\frac{1}{2}$時(shí)，f′（x）=x-1，f（x）的增區(qū)間為（1，+∞），減區(qū)間為（0，1）；
當(dāng)$\frac{1}{2}$＜a＜1時(shí)，0＜2a-1＜1，由f′（x）＞0，可得0＜x＜2a-1或x＞1；
由f′（x）＜0，可得2a-1＜x＜1；
即有f（x）的減區(qū)間為（2a-1，1），增區(qū)間為（0，2a-1），（1，+∞）；
當(dāng)a＜$\frac{1}{2}$時(shí)，2a-1＜0，由f′（x）＞0，可得x＞1；
由f′（x）＜0，可得0＜x＜1；
即有f（x）的減區(qū)間為（0，1），增區(qū)間為（1，+∞）．
綜上可得，當(dāng)a≤$\frac{1}{2}$時(shí)，f（x）的增區(qū)間為（1，+∞），減區(qū)間為（0，1）；
當(dāng)$\frac{1}{2}$＜a＜1時(shí)，f（x）的減區(qū)間為（2a-1，1），增區(qū)間為（0，2a-1），（1，+∞）；
當(dāng)a=1時(shí)，f（x）增區(qū)間為（0，+∞）；
當(dāng)a＞1時(shí)，f（x）的減區(qū)間為（1，2a-1），增區(qū)間為（0，1），（2a-1，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線方程和判斷單調(diào)性，注意運(yùn)用分類討論思想方法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．