【題目】如圖，在各棱長(zhǎng)均相等的三棱柱中，設(shè)是的中點(diǎn)，直線與棱的延長(zhǎng)線交于點(diǎn).

（1）求證:直線平面；

（2）若底面，求二面角的正弦值.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）

【解析】

（1）連接交于點(diǎn)，連接，由中位線定理可得，即可由線面平行的判定定理證明平面；

（2）設(shè)的中點(diǎn)為，連接，可證明，則以A為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，求得平面和平面的法向量，由空間向量數(shù)量積定義可求得兩個(gè)平面夾角的余弦值，結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系式即可求得二面角的正弦值.

（1）證明：連接交于點(diǎn)，連接，如下圖所示：

∵且，

∴.

由已知條件得，

∴.

又∵平面，且平面，

∴直線平面.

（2）設(shè)的中點(diǎn)為，連接，

由已知得.

又∵且，

∴.

結(jié)合，得.

故.

由題意以A為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖所示：

設(shè)，則，，，.

∴，，.

由，得平面的一個(gè)法向量為，

由，得平面的一個(gè)法向量為.

于是.

由同角三角函數(shù)關(guān)系式可知

故二面角的正弦值為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為，曲線的參數(shù)方程為（）.

（1）寫(xiě)出曲線的直角坐標(biāo)方程與曲線的普通方程；

（2）若射線（）與曲線，分別交于，兩點(diǎn)（不是原點(diǎn)），求的最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為(為參數(shù))。在極坐標(biāo)系(與直角坐標(biāo)系取相同的長(zhǎng)度單位，且以原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸正半軸為極軸)中，圓的極坐標(biāo)方程為。

（1）求直線的普通方程和圓的直角坐標(biāo)方程；

（2）設(shè)圓與直線交于，兩點(diǎn)，若點(diǎn)的坐標(biāo)為，求。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

極坐標(biāo)系的極點(diǎn)為直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，極軸為軸的正半軸，兩種坐標(biāo)系中的長(zhǎng)度單位相同，已知曲線的極坐標(biāo)方程為.

（1）求的直角坐標(biāo)方程；

（2）直線（為參數(shù)）與曲線交于兩點(diǎn)，與軸交于，求.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，四棱錐中，為等邊三角形，，，且.

（1）求證：平面平面；

（2）求點(diǎn)到平面的距離.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，傾斜角為的直線的參數(shù)方程為（其中為參數(shù)）.在以為極點(diǎn)、軸的非負(fù)半軸為極軸的極坐標(biāo)系（兩種坐標(biāo)系的單位長(zhǎng)度相同）中，曲線：的焦點(diǎn)的極坐標(biāo)為.

（1）求常數(shù)的值；

（2）設(shè)與交于、兩點(diǎn)，且，求的大小.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.

（1）求的極坐標(biāo)方程；

（2）將曲線上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍，得到曲線，若與的交點(diǎn)為（異于坐標(biāo)原點(diǎn)），與的交點(diǎn)為，求.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】知函數(shù)，，與在交點(diǎn)處的切線相互垂直.

(1)求的解析式；

(2)已知,若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn),求的取值范圍 .

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知直線的參數(shù)方程為（其中為參數(shù)），以原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為（為常數(shù)，且），直線與曲線交于兩點(diǎn).

（1）若，求實(shí)數(shù)的值；

（2）若點(diǎn)的直角坐標(biāo)為，且，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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