Question

已知函數(shù)f（x）=cos²（x+

π

12

），g（x）=1+

1

2

sin2x．
（1）設(shè)x=x₀是函數(shù)y=f（x）圖象的一條對(duì)稱軸，求g（2x₀）的值；
（2）求函數(shù)h（x）=f（x）+g（x），x∈[0，

π

4

]的值域．

Answer 1

考點(diǎn)：二倍角的余弦,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）利用二倍角的余弦可得f（x）=

1+cos(2x+ π 6 )

2

，x=x₀是函數(shù)y=f（x）圖象的一條對(duì)稱軸⇒2x₀=kπ-

π

6

（k∈Z），于是可求得g（2x₀）；
（2）利用三角恒等變換，可得h（x）=

3

2

+

1

2

sin（2x+

π

3

），x∈[0，

π

4

]⇒2x+

π

3

∈[

π

3

，

5π

6

]，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性質(zhì)即可求得x∈[0，

π

4

]時(shí)，h（x）的值域．

解答： 解：（1）f（x）=cos²（x+

π

12

）=

1+cos(2x+ π 6 )

2

，
∵x=x₀是函數(shù)y=f（x）圖象的一條對(duì)稱軸，
∴2x₀+

π

6

=kπ（k∈Z），∴2x₀=kπ-

π

6

（k∈Z），
∴g（2x₀）=1+

1

2

sin4x₀=1+

1

2

sin（-

π

3

）=

4- 3

4

．
（2）∵h(yuǎn)（x）=f（x）+g（x）=

1+cos(2x+ π 6 )

2

+1+

1

2

sin2x=

3

2

+

1

2

（

3

2

cos2x+

1

2

sin2x）=

3

2

+

1

2

sin（2x+

π

3

），
∴x∈[0，

π

4

]⇒2x+

π

3

∈[

π

3

，

5π

6

]，
∴sin（2x+

π

3

）∈[

1

2

，1]，
∴h（x）=

3

2

+

1

2

sin（2x+

π

3

）∈[

7

4

，2]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查二倍角的余弦，考查三角函數(shù)中的恒等變換及其應(yīng)用，著重考查正弦函數(shù)的單調(diào)性質(zhì)，屬于中檔題．