【題目】如果函數(shù)滿足且是它的零點,則函數(shù)是“有趣的”,例如就是“有趣的”,已知是“有趣的”.
(1)求出b、c并求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若對于任意正數(shù)x,都有恒成立,求參數(shù)k的取值范圍.
【答案】(1),,單減區(qū)間為0,1),單增區(qū)間為;(2)
【解析】
(1)根據(jù)定義得方程恒成立,解得b、c,再根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)先化簡不等式,再求導(dǎo)數(shù),根據(jù)導(dǎo)函數(shù)符號分類討論,利用導(dǎo)數(shù)證明恒成立,再說明不恒成立.
(1)因為是“有趣的”,所以
即
的定義域為,單減區(qū)間為(0,1),單增區(qū)間為.
(2)參數(shù)的取值范圍為.
引理:不等式對任意正數(shù)y都成立。證明如下:
由恒成立,得恒成立。.
我們構(gòu)造函數(shù)。注意到。
構(gòu)造,注意到,且
我們以下分兩部分進行說明:
第一部分:時,恒成立。
時,由引理得:,知道,
從而當(dāng)時有,時有,所以在(0,1)上為負,在上為正。
從而在上單減,在上單增,最小值為。
從而
第二部分:時,不滿足條件。
構(gòu)造函數(shù)。
(。┤,則對于任意,都有。
(ⅱ)若,則對于任意,,
而,所以在(0,1)上有唯一零點,同時在,時都有。
于是只要,無論是(。┻是(ⅱ),我們總能找到一個實數(shù),在時都有。
這樣在時,都有,結(jié)合,所以時,從而在時有。,所以時,不滿足要求。
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)等差數(shù)列的前項和為,已知, .
(1)求;
(2)若從中抽取一個公比為的等比數(shù)列,其中,且,
(i)求的通項公式;
(ii)記數(shù)列的前項和為,是否存在正整數(shù),使得成等差數(shù)列?若存在,求出滿足的條件;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知等腰梯形中,是的中點,,將沿著翻折成,使平面平面.
(Ⅰ)求證:;
(Ⅱ)求二面角的余弦值;
(Ⅲ)在線段上是否存在點P,使得平面,若存在,求出的值;若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(, 為參數(shù)),以坐標(biāo)原點為極點, 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線的極坐標(biāo)方程為,若直線與曲線相切;
(1)求曲線的極坐標(biāo)方程;
(2)在曲線上取兩點, 與原點構(gòu)成,且滿足,求面積的最大值.
【答案】(1);(2)
【解析】試題分析:(1)利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式可得直線的直角坐標(biāo)方程為,
,消去參數(shù)可知曲線是圓心為,半徑為的圓,由直線與曲線相切,可得: ;則曲線C的方程為, 再次利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式可得
可得曲線C的極坐標(biāo)方程.
(2)由(1)不妨設(shè)M(),,(),
,
,
由此可求面積的最大值.
試題解析:(1)由題意可知直線的直角坐標(biāo)方程為,
曲線是圓心為,半徑為的圓,直線與曲線相切,可得: ;可知曲線C的方程為,
所以曲線C的極坐標(biāo)方程為,
即.
(2)由(1)不妨設(shè)M(),,(),
,
,
當(dāng) 時, ,
所以△MON面積的最大值為.
【題型】解答題
【結(jié)束】
23
【題目】已知函數(shù)的定義域為;
(1)求實數(shù)的取值范圍;
(2)設(shè)實數(shù)為的最大值,若實數(shù), , 滿足,求的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系中,以原點為極點,軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.若曲線的極坐標(biāo)方程為,點的極坐標(biāo)為,在平面直角坐標(biāo)系中,直線經(jīng)過點,且傾斜角為.
(1)寫出曲線的直角坐標(biāo)方程以及點的直角坐標(biāo);
(2)設(shè)直線與曲線相交于,兩點,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】國際羽毛球比賽規(guī)則從2006年5月開始,正式?jīng)Q定實行21分的比賽規(guī)則和每球得分制,并且每次得分者發(fā)球,所有單項的每局獲勝分至少是21分,最高不超過30分,即先到21分的獲勝一方贏得該局比賽,如果雙方比分為時,獲勝的一方需超過對方2分才算取勝,直至雙方比分打成時,那么先到第30分的一方獲勝.在一局比賽中,甲發(fā)球贏球的概率為,甲接發(fā)球贏球的概率為,則在比分為,且甲發(fā)球的情況下,甲以贏下比賽的概率為( )
A.B.C.D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,底面,,,,是的中點.
(1)證明;
(2)若,
(i)求直線與平面所成角的正弦值;
(ii)設(shè)平面與側(cè)棱交于,求.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】“中國剩余定理”又稱“孫子定理”.1852年,英國來華傳教士偉烈亞力將《孫子算經(jīng)》中“物不知數(shù)”問題的解法傳至歐洲.1874年,英國數(shù)學(xué)家馬西森指出此法符合1801年由高斯得到的關(guān)于同余式解法的一般性定理,因而西方稱之為“中國剩余定理”.“中國剩余定理”講的是一個關(guān)于整除的問題,現(xiàn)有這樣一個整除問題:將1到2019這2019個數(shù)中,能被3除余1且被4除余1的數(shù)按從小到大的順序排成一列,構(gòu)成數(shù)列,則此數(shù)列的項數(shù)為( )
A.167B.168C.169D.170
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【題目】已知中心在原點的橢圓C1和拋物線C2有相同的焦點(1,0),橢圓C1過點,拋物線的頂點為原點.
(1)求橢圓C1和拋物線C2的方程;
(2)設(shè)點P為拋物線C2準(zhǔn)線上的任意一點,過點P作拋物線C2的兩條切線PA,PB,其中A、B為切點.
設(shè)直線PA,PB的斜率分別為k1,k2,求證:k1k2為定值;
②若直線AB交橢圓C1于C,D兩點,S△PAB,S△PCD分別是△PAB,△PCD的面積,試問:是否有最小值?若有,求出最小值;若沒有,請說明理由.
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