Question

甲、乙兩人進行某種比賽，各局勝負相互獨立，約定每局勝者得1分，負者得0分，無平局，比賽進行到有一人比對方多2分時結(jié)束，已知甲在每局中獲勝的概率均為P（其中P＞）．賽完后兩局比賽結(jié)束的概率為．
（I）求P；
（II）求賽完四局比賽結(jié)束且乙比甲多2分的概率．

Answer 1

解：設(shè)事件A_i表示“甲第i局獲勝”，事件B_i表示“乙第i局獲勝”，則P（A_i）=p，P（B_i）=1-p
（I）設(shè)“賽完兩局比賽結(jié)束”為事件C，則C=A₁•A₂+B₁•B₂，則P（C）=
即P（A₁•A₂+B₁•B₂）=P（A₁•A₂）+P（B₁•B₂）=
所以p²+（1-p）²=，所以，解得p=或
因為p＞，所以p=； （6分）
（II）設(shè)“賽完四局比賽結(jié)束且乙比甲多2分”為事件D，
則D=B₁•A₂•B₃•B₄+A₁•B₂•B₃•B₄，
∴P（D）=P（B₁•A₂•B₃•B₄+A₁•B₂•B₃•B₄）=+= （12分）
分析：設(shè)事件A_i表示“甲第i局獲勝”，事件B_i表示“乙第i局獲勝”，則P（A_i）=p，P（B_i）=1-p
（I）設(shè)“賽完兩局比賽結(jié)束”為事件C，P（C）=P（A₁•A₂+B₁•B₂），利用相互獨立事件的概率公式，結(jié)合賽完后兩局比賽結(jié)束的概率為，建立方程，可求p；
（II）設(shè)“賽完四局比賽結(jié)束且乙比甲多2分”為事件D，則D=B₁•A₂•B₃•B₄+A₁•B₂•B₃•B₄，利用相互獨立事件的概率公式，可得結(jié)論．
點評：本題考查概率的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．