Question

（2003•朝陽(yáng)區(qū)一模）某加油站需要制造一個(gè)容積為20πm³的圓柱形儲(chǔ)油罐，已知用來(lái)制作底面的鐵板每平方米價(jià)格為40元，用來(lái)制作側(cè)面的鐵板每平方米價(jià)格為32元，若不計(jì)制作損耗．
（Ⅰ）問(wèn)儲(chǔ)油罐底面半徑和高各為多少時(shí)，制作的儲(chǔ)油罐的材料成本價(jià)最低？
（Ⅱ）若制作的儲(chǔ)油罐底面鐵板半徑不能超過(guò)1.8m，那么儲(chǔ)油罐底面半徑的長(zhǎng)為多少時(shí)，可使制作儲(chǔ)油罐的材料成本價(jià)最低？

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)圓柱形儲(chǔ)油罐的底面半徑為x米，高為h米，由題意求出h的表達(dá)式，再求出材料成本價(jià)為y的表達(dá)式，根據(jù)基本不等式求出y的最小值，以及對(duì)應(yīng)的x的值；
（Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ）知，當(dāng)0＜x≤1.8時(shí)需要判斷函數(shù)在（0，1.8]上的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性的定義證明步驟：取值、作差、變形、定號(hào)、下結(jié)論，得到函數(shù)的單調(diào)性，再求出函數(shù)的最小值．

解答：解：（I）設(shè)圓柱形儲(chǔ)油罐的底面半徑為x米，高為h米，材料成本價(jià)為y元．
由題意得，πx2h=20π，則h=

20π

πx2

=

20

x2

．
∴y=2πx²•40+2πx•h•32…（2分）
=80π(x2+

16

x

)=80π(x2+

8

x

+

8

x

)…（4分）
≥80π•3•

3	x2• 8 x • 8 x

…（6分）=960π（元）．
當(dāng)且僅當(dāng)x2=

8

x

，即x=2，h=5時(shí)取等號(hào)．
答：當(dāng)儲(chǔ)油罐的底面半徑為2米，高為5米，材料成本價(jià)最低．…（8分）
（II）解：由（Ⅰ）知，f(x)=80π(x2+

16

x

)當(dāng)x=2時(shí)，y取最小值960π元，
當(dāng)x不超過(guò)1.8米時(shí)，即0＜x≤1.8．
下面探討函數(shù)f(x)=80π(x2+

16

x

)在（0，1.8]上的單調(diào)性．…（10分）
設(shè)0＜x₁＜x₂≤1.8，
f(x2)-f(x1)=80π(

x

2 2

+

16

x2

)-80π(

x

2 1

+

16

x1

)
=80π(x2-x1)

(x1+x2)x1x2-16

x1x2

…（12分）
∵0＜x₁＜x₂≤1.8＜2，
∴x2-x1＞0，

(x1+x2)x1x2-16

x1x2

＜0，
∴f（x₂）-f（x₁）＜0，f（x₂）＜f（x₁）．
則函數(shù)f(x)=80π(x2+

16

x

)在（0，1.8]上是減函數(shù)．
答：當(dāng)儲(chǔ)油罐底面鐵板半徑為1.8米，材料成本價(jià)最低．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，利用基本不等式求函數(shù)的最值，以及根據(jù)單調(diào)性的定義證明步驟：取值、作差、變形、定號(hào)、下結(jié)論，得到函數(shù)的單調(diào)性，再求出函數(shù)的最小值．