Question

11．已知二次函數(shù)f（x）=3x²+bx+c，不等式f（x）＞0的解集為（-∞，-2）∪（0，+∞）
（1）求f（x）的解析式；
（2）若函數(shù)g（x）=f（x）+mx-2在（2，3）上單調(diào)，求實數(shù)m的取值范圍；
（3）若對于任意的x∈[-2，2]，f（x）+n≤3都成立，求實數(shù)n的最大值．

Answer 1

分析 （1）由題意可得-2，0為方程f（x）=0的兩個實根，代入f（x），解方程可得b，c的值，進而得到f（x）的解析式；
（2）求出g（x）的對稱軸，討論與區(qū)間（2，3）的關系，即可得到所求m的范圍；
（3）依題得，n≤3-f（x）=-3x²-6x+3對于任意的x∈[-2，2]恒成立，只要n≤（-3x²-6x+3）_min，x∈[-2，2]，由單調(diào)性可得最小值，即可得到n的范圍．

解答 解：（1）依題得，-2，0為方程f（x）=0的兩個實根，
即有$\left\{\begin{array}{l}{f（-2）=0}\\{f（0）=0}\end{array}\right.$即$\left\{\begin{array}{l}{12-2b+c=0}\\{c=0}\end{array}\right.$，
解得b=6，c=0．
則f（x）=3x²+6x；
（2）函數(shù)g（x）=f（x）+mx-2=3x²+（m+6）x-2在（2，3）上單調(diào)，
又二次函數(shù)開口向上，對稱軸x=-$\frac{m+6}{6}$，
即有-$\frac{m+6}{6}$≤2或-$\frac{m+6}{6}$≥3，
解得m≥-18或m≤-24；
（3）依題得，n≤3-f（x）=-3x²-6x+3對于任意的x∈[-2，2]恒成立，
只要n≤（-3x²-6x+3）_min，x∈[-2，2]，
設h（x）=-3x²-6x+3，x∈[-2，2]，
當x=2時，h（x）_min=-21，
即有n≤-21．

點評 本題考查二次函數(shù)和二次方程及二次不等式的關系，考查單調(diào)性的運用，以及不等式恒成立問題的解法，屬于中檔題．