13．已知f（x）=x（$\frac{1}{{2}^{x}-1}$+$\frac{1}{2}$）（x≠0），證明f（x）＞0．

分析 化簡(jiǎn)f（x）=x（$\frac{1}{{2}^{x}-1}$+$\frac{1}{2}$）=$\frac{{2}^{x}+1}{2（{2}^{x}-1）}$x，從而討論證明即可．

解答 證明：f（x）=x（$\frac{1}{{2}^{x}-1}$+$\frac{1}{2}$）
=$\frac{{2}^{x}+1}{2（{2}^{x}-1）}$x，
當(dāng)x＜0時(shí)，2x+1＞0，2x-1＜0；
故$\frac{{2}^{x}+1}{2（{2}^{x}-1）}$x＞0；
當(dāng)x＞0時(shí)，2x+1＞0，2x-1＞0；
故$\frac{{2}^{x}+1}{2（{2}^{x}-1）}$x＞0；
故f（x）＞0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的化簡(jiǎn)與分類討論的思想應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．

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