【題目】在平面直角坐標系中內(nèi)動點P(x,y)到圓F:x2+(y﹣1)2=1的圓心F的距離比它到直線y=﹣2的距離小1.
(1)求動點P的軌跡方程;
(2)設點P的軌跡為曲線E,過點F的直線l的斜率為k,直線l交曲線E于A,B兩點,交圓F于C,D兩點(A,C兩點相鄰).
①若 =t ,當t∈[1,2]時,求k的取值范圍;
②過A,B兩點分別作曲線E的切線l1 , l2 , 兩切線交于點N,求△ACN與△BDN面積之積的最小值.

【答案】
(1)解:由題意,動點P(x,y)到F(0,1)的距離比到直線y=﹣2的距離小1,

∴動點P(x,y)到F(0,1)的距離等于它到直線y=﹣1的距離,

∴動點P的軌跡是以F(0,1)為焦點的拋物線,其方程為x2=4y


(2)解:①由題意知,直線l方程為y=kx+1,代入拋物線得x2﹣4kx﹣4=0,

設(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=4k,x1x2=﹣4,

=t ,∴t=﹣ ,

=﹣t﹣ +2=﹣4k2

∴t+ =4k2+2

∵f(t)=t+ 在[1,2]上單調(diào)遞增,∴2≤t+ ,

;

②y= ,y′= ,

∴直線AN:y﹣ x12= x1(x﹣x1),BN:y﹣ x22= x1(x﹣x2),

兩式相減整理可得x= (x1+x2)=2k,

∴N(2k,﹣1),N到直線AB的距離d=2 ,

∵|AC|=|AF|﹣1=y1,|BD|=|BF|﹣1=y2,

∴|AC||BD|=1

∴△ACN與△BDN面積之積= = =1+k2,

當且僅當k=0時,△ACN與△BDN面積之積的最小值為0


【解析】(1)由動點P(x,y)到F(0,1)的距離比到直線y=﹣2的距離小1,可得動點P(x,y)到F(0,1)的距離等于它到直線y=﹣1的距離,利用拋物線的定義,即可求動點P的軌跡W的方程;(2)①由題意知,直線l方程為y=kx+1,代入拋物線得x2﹣4kx﹣4=0,利用條件,結合韋達定理,可得t+ =4k2+2,利用函數(shù)的單調(diào)性,即可求k的取值范圍;②求出直線AN,BN的方程,表示出面積,即可得出結論.

練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】如圖,已知A,B,C,D四點共面,且CD=1,BC=2,AB=4,∠ABC=120°,cos∠BDC=

(1)求sin∠DBC;
(2)求AD.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)f(x)=sin2ωx(ω>0),將y=f(x)的圖象向右平移 個單位長度后,若所得圖象與原圖象重合,則ω的最小值等于(
A.2
B.4
C.6
D.8

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】 屆夏季奧林匹克運動會將于2016年8月5日 21日在巴西里約熱內(nèi)盧舉行.下表是近五屆奧運會中國代表團和俄羅斯代表團獲得的金牌數(shù)的統(tǒng)計數(shù)據(jù)(單位:枚).

 

第31屆里約

第30屆倫敦

第29屆北京

第28屆雅典

第27屆悉尼

中國

26

38

51

32

28

俄羅斯

19

24

24

27

32

(1)根據(jù)表格中兩組數(shù)據(jù)完成近五屆奧運會兩國代表團獲得的金牌數(shù)的莖葉圖,并通過莖葉圖比較兩國代表團獲得的金牌數(shù)的平均值及分散程度(不要求計算出具體數(shù)值,給出結論即可);

(2)下表是近五屆奧運會中國代表團獲得的金牌數(shù)之和 (從第 屆算起,不包括之前已獲得的金牌數(shù))隨時間 (時間代號)變化的數(shù)據(jù):

27

28

29

30

31

時間代號(x)

1

2

3

4

5

金牌數(shù)之和(y枚)

28

60

111

149

175

作出散點圖如下:

①由圖中可以看出,金牌數(shù)之和 與時間代號 之間存在線性相關關系,請求出 關于 的線性回歸方程;

②利用①中的回歸方程,預測2020年第32屆奧林匹克運動會中國代表團獲得的金牌數(shù).

參考數(shù)據(jù):,

附:對于一組數(shù)據(jù) ,,,其回歸直線的斜率的最小二乘估計為

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù).

(1)當時,求在區(qū)間上的最值;

(2)討論函數(shù)的單調(diào)性;

(3)當時,有恒成立,求的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】命題p:α∈R,sin(π﹣α)=cosα;命題q:“0<a<4”是“關于x的不等式ax2+ax+1>0的解集是實數(shù)集R”的充分必要條件,則下面結論正確的是(
A.p是假命題
B.q是真命題
C.“p∧q”是假命題
D.“p∨q”是假命題

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】如圖,在三棱錐P﹣ABC中,平面PAC⊥平面ABC,PAAC,AB=BC=CA=AP=2,G是△ABC重心,E是線段PC上一點,且CE=λCP.

(1)當EG∥平面PAB時,求λ的值;

(2)當直線CP與平面ABE所成角的正弦值為時,求λ的值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】圖是函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(x∈R)在區(qū)間 上的圖象,為了得到這個函數(shù)的圖象,只要將y=sinx(x∈R)的圖象上所有的點(

A.向左平移 個單位長度,再把所得各點的橫坐標縮短到原來的 倍,縱坐標不變
B.向左平移 個單位長度,再把所得各點的橫坐標伸長到原來的2倍,縱坐標不變
C.向左平移 個單位長度,再把所得各點的橫坐標縮短到原來的 倍,縱坐標不變
D.向左平移 個單位長度,再把所得各點的橫坐標伸長到原來的2倍,縱坐標不變

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】去年“十一”期間,昆曲高速公路車輛較多.某調(diào)查公司在曲靖收費站從7座以下小型汽車中按進收費站的先后順序,每間隔50輛就抽取一輛的抽樣方法抽取40輛汽車進行抽樣調(diào)查,將他們在某段高速公路的車速()分成六段:,,,后,得到如圖的頻率分布直方圖.

(I)調(diào)查公司在抽樣時用到的是哪種抽樣方法?

(II)求這40輛小型汽車車速的眾數(shù)和中位數(shù)的估計值;

(III)若從這40輛車速在的小型汽車中任意抽取2輛,求抽出的2輛車車速都在的概率.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案