Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，AB=2AD=2，BD=，PD⊥底面ABCD．
（1）證明：平面PBC⊥平面PBD；
（2）若二面角P-BC-D為，求AP與平面PBC所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）證明BC⊥平面PBD，利用面面垂直的判定定理，即可證明平面PBC⊥平面PBD；
（2）確定∠PBD即為二面角P-BC-D的平面角，分別以DA、DB、DP為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示向量及平面PBC的法向量，利用向量的數(shù)量積公式，即可求得AP與平面PBC所成角的正弦值．
解答：（1）證明：∵CD²=BC²+BD²，∵BC⊥BD
∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥BC
又∵PD∩BD=D，∴BC⊥平面PBD
而BC?平面PBC，
∴平面PBC⊥平面PBD…（5分）
（2）解：由（1）所證，BC⊥平面PBD，所以∠PBD即為二面角P-BC-D的平面角，即∠PBD=
而BD=，所以PD=1…（7分）
分別以DA、DB、DP為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A（1，0，0），B（0，，0），P（0，0，1）
所以，，1）
設(shè)平面PBC的法向量為，∴…（10分）
即可解得）
∴AP與平面PBC所成角的正弦值為sinθ=…（12分）
點評：本題考查面面垂直，考查線面角，解題的關(guān)鍵是掌握面面垂直的判定定理，正確運用向量法求線面角．