Question

已知函數(shù)f（x）=

1

3

x³-x²
（1）求f（x）在R上的極值；
（2）已知a∈R，若g（x）=f（x）+ax，討論g（x）的單調(diào)性．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專(zhuān)題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解不等式求出即可，（2）先求出函數(shù)g（x）的導(dǎo)數(shù)，分別討論①a≥1時(shí)②a＜1時(shí)的情況，從而求出單調(diào)區(qū)間．

解答： 解：（1）∵f′（x）=x（x-2），
令f′（x）＞0，解得：x＞2，或x＜0，
令f′（x）＜0，解得：0＜x＜2，
∴f（x）在（-∞，0），（2，+∞）遞增，在（0，2）遞減，
∴f（x）_極大值=f（0）=0，f（x）_極小值=f（2）=-

4

3

．
（2）∵g（x）=

1

3

x³-x²+ax，
∴g′（x）=x²-2x+a，
①a≥1時(shí)，g′（x）≥0，g（x）在（-∞，+∞）遞增，
②a＜1時(shí)，令g′（x）=0，解得：x=1±

1-a

，
∴f（x）在（-∞，1-

1-a

），（1+

1-a

，+∞）遞增，在（1-

1-a

，1+

1-a

）遞減．

點(diǎn)評(píng)：本題考察了函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，滲透了分類(lèi)討論思想，是一道綜合題．