Question

【題目】設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則稱是“緊密數(shù)列”.

（1）若數(shù)列是“緊密數(shù)列”，且，，，，求的取值范圍；

（2）若為等差數(shù)列，首項(xiàng)，公差，且，判斷是否為“緊密數(shù)列”，并說明理由；

（3）設(shè)數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，若數(shù)列與都是“緊密數(shù)列”，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）是“緊密數(shù)列”，詳見解析（3）

【解析】

(1)由 ，可求出的取值范圍;

(2)由,所以

,根據(jù)“緊密數(shù)列”的定義即可得到結(jié)論;

(3)根據(jù)”是緊密函數(shù)”可得,再對(duì)分 三種情況套,結(jié)合“緊密數(shù)列”的定義可得.

（1）由題意得：，，解得.

所以的取值范圍是.

（2）由題意得,所以

,

因?yàn)?/span>隨著的增大而減小,所以時(shí),取得最大值,所以 ,

所以是“緊密數(shù)列”.

（3）由數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，得，

因?yàn)?/span>是“緊密數(shù)列”，所以.

①當(dāng)時(shí)，，，因?yàn)?/span>，所以時(shí)，數(shù)列為“緊密數(shù)列”，故滿足題意.

②當(dāng)時(shí)，，則，因?yàn)閿?shù)列為“緊密數(shù)列”，

所以，對(duì)任意恒成立.

（i）當(dāng)時(shí)，，

即，對(duì)任意恒成立.

因?yàn)?/span>,所以，，，

所以，，

所以，當(dāng)時(shí)，，對(duì)任意恒成立.

（ii）當(dāng)時(shí)，，即，對(duì)任意恒成立.

所以當(dāng)時(shí),有成立,即,所以 且,

所以,這與相矛盾,此時(shí)不存在.

綜上所述，的取值范圍是.