Question

19．設(shè)常數(shù)a＞1，實數(shù)x，y滿足log_ax+2log_xa+log_xy=-3，若y的最大值為$\sqrt{2}$，則x的值為$\frac{1}{8}$．

Answer 1

分析 實數(shù)x，y滿足log_ax+2log_xa+log_xy=-3，化為log_ax+$\frac{2}{lo{g}_{a}x}$+$\frac{lo{g}_{a}y}{lo{g}_{a}x}$=-3，令log_ax=t，化為：log_ay=$-（t+\frac{3}{2}）^{2}$+$\frac{1}{4}$，再利用二次函數(shù)的單調(diào)性、對數(shù)的運算性質(zhì)即可得出．

解答 解：實數(shù)x，y滿足log_ax+2log_xa+log_xy=-3，
化為log_ax+$\frac{2}{lo{g}_{a}x}$+$\frac{lo{g}_{a}y}{lo{g}_{a}x}$=-3，
令log_ax=t，
化為：log_ay=$-（t+\frac{3}{2}）^{2}$+$\frac{1}{4}$，
∵a＞1，∴當(dāng)t=-$\frac{3}{2}$時，y取得最大值$\sqrt{2}$，
∴$lo{g}_{a}\sqrt{2}$=$\frac{1}{4}$，
解得a=4．
∴l(xiāng)og₄x=-$\frac{3}{2}$，
∴x=${4}^{-\frac{3}{2}}$=$\frac{1}{8}$．
故答案為：$\frac{1}{8}$．

點評 本題考查了二次函數(shù)的單調(diào)性、對數(shù)的運算性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．