Question

13．已知函數(shù)f（x）=2sinx+a+3的圖象過原點．
（1）求a的值和f（x）的值域；
（2）設(shè)ω＞0，若y=f（ωx）在區(qū)間[-$\frac{π}{2}$，$\frac{2π}{3}$]是增函數(shù)，求ω的取值范圍；
（3）設(shè)|θ|＜$\frac{π}{2}$，若對x取一切實數(shù)，不等式4+f（x+θ）f（x-θ）＞2f（x）都成立，求θ的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）函數(shù)f（x）=2sinx+a+3的圖象過原點，即f（0）=a+3=0，求出a的值，再根據(jù)-1≤sinx≤1，求出函數(shù)的值域；
（2）通過ω＞0，求出y=f（ωx）的單調(diào)增區(qū)間，利用函數(shù)在區(qū)間[-$\frac{π}{2}$，$\frac{2π}{3}$]是增函數(shù)數(shù)，列出ω的不等式組，即可求ω的取值范圍；
（3）利用第一問中函數(shù)解析式對不等式等價轉(zhuǎn)化，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=2sinx+a+3的圖象過原點，
∴f（0）=a+3=0，解得a=-3，
∴f（x）=2sinx，
∵-1≤sinx≤1，
∴-2≤f（x）≤2，
故函數(shù)f（x）的值域為[-2，2]；
（2）y=f（ωx）=2sin（ωx），
根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性：2kπ-$\frac{π}{2}$≤ωx≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
解得f（x）的單增區(qū)間為[-$\frac{π}{2ω}$+$\frac{2kπ}{ω}$，$\frac{π}{2ω}$+$\frac{2kπ}{ω}$]
又由已知f（x）的單增區(qū)間為[-$\frac{π}{2}$，$\frac{2π}{3}$]，
所以有[-$\frac{π}{2}$，$\frac{2π}{3}$]?[-$\frac{π}{2ω}$+$\frac{2kπ}{ω}$，$\frac{π}{2ω}$+$\frac{2kπ}{ω}$]
即$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{π}{2ω}≤-\frac{π}{2}}\\{\frac{π}{2ω}≤\frac{2π}{3}}\end{array}\right.$ 解得$\frac{3}{4}$≤ω≤1．
所以ω的取值范圍是[$\frac{3}{4}$，1]．
（2）∵4+f（x+θ）f（x-θ）＞2f（x）
即4+4sin（x+θ）sin（x-θ）＞4sinx，當(dāng)|θ|＜$\frac{π}{2}$時恒成立，
即4-2（cos2x-cos2θ）＞4sinx，
整理得cos2θ＞-2sin²x+2sinx-1，
∵f（x）=-2sin²x+2sinx-1=-2（sinx-$\frac{1}{2}$）-$\frac{1}{2}$
當(dāng)sinx=$\frac{1}{2}$，即x=$\frac{π}{3}$，f（x）_max=-$\frac{1}{2}$，
∴要使不等式成立需cos2θ＞-$\frac{1}{2}$，
∴-$\frac{2}{3}π$≤2θ≤$\frac{2}{3}$π，
∴-$\frac{π}{3}$≤θ≤$\frac{π}{3}$，
故θ的取值范圍[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{3}$]．

點評 本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，二倍角的三角函數(shù)以及兩角和與差的三角函數(shù)，正弦函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用三角函數(shù)圖象與性質(zhì)，二次函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，考查了學(xué)生轉(zhuǎn)化與化歸思想的運用，屬于中檔題．