Question

已知函數(shù)f(x)=ln(x+

3

2

)+

2

x

，g（x）=lnx．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）如果關(guān)于x的方程g(x)=

1

2

x+m有實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（3）是否存在正數(shù)k，使得關(guān)于x的方程f（x）=kg（x）有兩個(gè)不相等的實(shí)根？如果存在，求的k取值范圍，如果不存在，說(shuō)明理由？

Answer 1

分析：（1）依題意，可求得f′（x）=

2

2x+3

-

2

x2

，令f′（x）=0可解得：x=-1或3，列出x，f（x），f′（x）隨x變化情況表，即可得到函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）可求得m=lnx-

1

2

x，（x＞0），構(gòu)造函數(shù)t（x）=lnx-

1

2

x，（x＞0），通過(guò)t′（x）可求得t（x）_max，從而可求得m的范圍；
（3）由h（x）=f（x）-kg（x）=ln（x+

3

2

）+

2

x

-klnx，（x＞0），可求得h′（x）=

2(1-k)x2-(3k+4)x-6

x2(2x+3)

，取p（x）=2（1-k）x²-（3k+4）x-6，（x≥0），通過(guò)對(duì)k的取值情況的討論，可判斷h（x）=0的根的情況，從而可得答案．

解答：解：（1）f（x）=ln（x+

3

2

）+

2

x

（x＞-

3

2

，且x≠0），
f′（x）=

1

x+ 3 2

-

2

x2

=

2

2x+3

-

2

x2

，令f′（x）=0，解得：x=-1或3．
x，f（x），f′（x）隨x變化情況如下表：

x		-1	（-1，0）	（0，3）	3	（3，+∞）
f′（x）	+	0	-	-	0	+
f（x）	↗		↘	↘		↗

∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（-

3

2

，-1）和（3，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間是（-1，0）和（0，3）．…（4分）
（2）g（x）=lnx=

1

2

x+m，
∴m=lnx-

1

2

x，（x＞0）
取t（x）=lnx-

1

2

x，（x＞0），
則t′（x）=

1

x

-

1

2

，（x＞0），令t′（x）=0得，x=2；
∴x，t（x），t′（x）隨x變化情況如下表：

x	（0，2）	2	（2，+∞）
t′（x）	+	0	-
t（x）	↗		↘

∴當(dāng)x=2時(shí)，t（x）取得極大值t（2）=ln2-1，也是最大值，
∴m＜ln2-1．…（8分）
（3）h（x）=f（x）-kg（x）=ln（x+

3

2

）+

2

x

-klnx，（x＞0），
∴h′（x）=

1

x+ 3 2

-

2

x2

-

k

x

=

2

2x+3

-

2

x2

-

k

x

=

2x2-2(2x+3)-kx(2x+3)

x2(2x+3)

=

2(1-k)x2-(3k+4)x-6

x2(2x+3)

，
取p（x）=2（1-k）x²-（3k+4）x-6，（x≥0）…（10分）
對(duì)稱軸x=-

-(3k+4)

4(1-k)

=-

3k+4

4(k-1)

，
當(dāng)k＞1時(shí)，p（x）圖象開(kāi)口向下，-

3k+4

4(k-1)

＜0，
∴p（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，p（x）＜p（0）=-6＜0
∴h′（x）＜0，
∴h（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，h（x）=0不可能有兩個(gè)不等實(shí)根．
當(dāng)k=1時(shí)，p（x）=-7x-6＜0，
同理h′（x）＜0，
∴h（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，h（x）=0不可能有兩個(gè)不等實(shí)根．
當(dāng)0＜k＜1時(shí)，p（x）圖象開(kāi)口向上，
又p（0）=-6＜0，此時(shí)p（x）=0在（0，+∞）有且僅有一根，設(shè)為x₀．
對(duì)x∈（0，x₀），p（x）＜0，h'（x）＜0，h（x）在（0，x₀）上單調(diào)遞減；
對(duì)x∈（x₀，+∞），p（x）＞0，h'（x）＞0，h（x）在（x₀，+∞）上單調(diào)遞增；h（x）_min=h（x₀）=ln（x₀+

3

2

）+

2

x0

-klnx₀，
又p（1）=2（1-k）•1²-（3k+4）•1-6=-8-5k＜0，
∴x₀＞1，lnx₀＞0，
∴l(xiāng)n（x₀+

3

2

）＞lnx₀＞klnx₀（0＜k＜1），

2

x0

＞0，
∴h（x₀）＞0，
此時(shí)h（x）=0沒(méi)有實(shí)數(shù)根．
綜上所述，不存在正數(shù)k，使得關(guān)于x的方程f（x）=kg（x）有兩個(gè)不相等的實(shí)根…（15分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系，突出分類討論思想與方程思想的綜合應(yīng)用，考查抽象思維與邏輯思維能力，屬于難題．