Question

設(shè)定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)=

-2x+a

2x+1+b

（a，b為實(shí)數(shù)）若f（x）是奇函數(shù)．
（1）求a與b的值；
（2）判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，并證明；
（3）證明對(duì)任何實(shí)數(shù)x、c都有f（x）＜c²-3c+3成立．

Answer 1

分析：（1）利用奇函數(shù)的定義，建立等式，即可求a與b的值；
（2）確定函數(shù)解析式，利用導(dǎo)數(shù)法，可得函數(shù)的單調(diào)性；
（3）確定左、又函數(shù)的最值，即可證得結(jié)論．

解答：（1）解：∵f（x）是奇函數(shù)時(shí)，
∴f（-x）=-f（x），即

-2-x+a

2-x+1+b

=-

-2x+a

2x+1+b

對(duì)任意實(shí)數(shù)x成立．
化簡(jiǎn)整理得（2a-b）•2^2x+（2ab-4）•2^x+（2a-b）=0，這是關(guān)于x的恒等式，所以

2a-b=0 2ab-4=0

所以

a=-1 b=-2

（舍）或

a=1 b=2

（2）解：f（x）在R上單調(diào)遞減，證明如下：
由（1）知f(x)=

-2x+1

2x+1+2

=-

2x-1

2x+1+2

=-

1

2

×

2x+1-2

2x+1

=-

1

2

+

1

2x+1

∴f′(x)=

-2xln2

(2x+1)2

＜0，
∴f（x）在R上單調(diào)遞減；
（3）證明：f(x)=

-2x+1

2x+1+2

=-

1

2

+

1

2x+1

，
因?yàn)?^x＞0，所以2^x+1＞1，0＜

1

2x+1

＜1，從而-

1

2

＜f(x)＜

1

2

；
而c2-3c+3=(c-

3

2

)2+

3

4

≥

3

4

對(duì)任何實(shí)數(shù)c成立；
所以對(duì)任何實(shí)數(shù)x、c都有f（x）＜c²-3c+3成立．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的結(jié)合，考查函數(shù)的值域，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．