Question

設定義域為R的函數(shù)f(x)=

5|x-1|-1，x≥0 x2+4x+4，x＜0

若關于x的方程f²（x）-（2m+1）f（x）+m²=0有7個不同的實數(shù)根，則實數(shù)m=

 

．

Answer 1

分析：題中原方程f²（x）-（2m+1）f（x）+m²=0有7個不同的實數(shù)根，即要求對應于f（x）=某個常數(shù)有3個不同實數(shù)解，
故先根據(jù)題意作出f（x）的簡圖，由圖可知，只有當f（x）=4時，它有三個根．故關于x的方程f²（x）-（2m+1）f（x）+m²=0有7個不同的實數(shù)根．

解答：解：∵題中原方程f²（x）-（2m+1）f（x）+m²=0有7個不同的實數(shù)根，
∴即要求對應于f（x）等于某個常數(shù)有3個不同實數(shù)解，
∴故先根據(jù)題意作出f（x）的簡圖：
由圖可知，只有當f（x）=4時，它有三個根．
故關于x的方程f²（x）-（2m+1）f（x）+m²=0有一個實數(shù)根4．
∴4²-4（2m+1）+m²=0，
∴m=2，或m=6，
m=6時，方程f²（x）-（2m+1）f（x）+m²=0有5個不同的實數(shù)根，所以m=2．
故答案為：2．

點評：數(shù)形結合是數(shù)學解題中常用的思想方法，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學問題的本質(zhì)；另外，由于使用了數(shù)形結合的方法，很多問題便迎刃而解，且解法簡捷．